学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【数II】微分法と積分法のまとめ

ここでは数学2の「微分法と積分法」についてまとめています。

まずは微分や積分の意味をなんとなくでもいいので理解していきましょう。

1節　微分係数と導関数

平均変化率・微分係数・導関数

次の式で表されるf'(x)をf(x)の微分（または導関数）という。

    \begin{eqnarray*} f'(x) = \displaystyle　\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) -f(x)}{h} \end{eqnarray*}

微分の定義を丸暗記でなく、図形的にも理解することが大切です。

【微分】微分の定義とその意味について

xのn乗の微分

    \begin{eqnarray*} (x^n)' &=& nx^{n-1} \\\\ \end{eqnarray*}

微分の定義を用いればどのような関数でも微分することが可能ですが、微分の定義に従って微分を行うことは骨の折れる作業となります。

定義はもちろん大切ですが、実際の計算では定義を用いずに公式として微分を行います。

【公式】xのn乗の微分

微分の各種公式

f(x) = c ( c は定数)のとき、

    \begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}

k が定数のとき、

    \begin{eqnarray*} \{kf(x)\}' = kf'(x) \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x) \end{eqnarray*}

これらの公式は微分を学習するうえでの基本となりますので、公式として特別に意識することなく、自在に扱えるようにしておきましょう。

【数II】微分の各種公式の証明

数II範囲での微分の公式は数えるほどしかありませんが、数III範囲では多くの公式を学ぶこととなります。数III範囲の微分の公式は下を参考にしてください。

【数III】微分の公式のまとめ

接線の方程式

公開までしばらくお待ちください。

2節　微分法の応用

関数の増減と極大・極小

関数には最大値・最小値・極大値・極小値という4種の特徴的な値があります。
それぞれの違いとその求め方について、理解しておきましょう。

【基礎知識】関数の極大値・極小値と極値を持つための条件について

導関数のいろいろな応用

公開までしばらくお待ちください。

3節　積分法

積分とは、簡単に言うと微分の逆の計算になります。

積分を理解するには微分の理解が必要になりますので、まずは微分の知識習得と演習を十分に行っておくことが大切です。

不定積分

次の式で定義される \int f(x) dx を f(x) の不定積分といいます。

    \begin{eqnarray*} \int f(x) dx = F(x)　+ C \\ \end{eqnarray*}

C は積分定数

定期テスト以外で実際に不定積分やその結果が何かを問われることは多くありませんが、不定積分は積分を考える上での基礎となりますので、しっかり理解しておきましょう。

【基礎知識】不定積分とは

xのn乗の不定積分

    \begin{eqnarray*} \int x^n dx &=& \cfrac{1}{n+1} ~x^{n+1} + C \\\\ \end{eqnarray*}

C は積分定数

微分とは異なり、積分は全ての関数について機械的に行うことはできません。
しかし基本的な関数については公式が存在しますので、それを用いれば「見つける」作業を行わずに機械的に積分を行うことができます。

【公式】xのn乗の不定積分

定積分

    \begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)\\ \end{eqnarray*}

定積分とは何かについての基礎的な説明を行っています。

【基礎知識】定積分の説明とその例題

積分の各種公式

定積分をそのまま実行しようとすると非効率的な計算を行ってしまうことになる場合が多くあります。

そのような場合には計算ミスが発生するリスクも高まりますので、やみくもに定積分を実行することは避けるようにすることが懸命といえるでしょう。

【数2】積分の各種公式の証明

定数倍の積分の公式

k が0でない定数のとき、

    \begin{eqnarray*} \int kf(x)~dx = k\int f(x)~dx \\\\ \end{eqnarray*}

和の積分の公式

    \begin{eqnarray*} \int f(x)+ g(x)~dx = \int f(x)~dx + \int g(x)~dx\\\\ \end{eqnarray*}

積分区間の幅が0の定積分

    \begin{eqnarray*} \int_a^a f(x) dx &=& 0 \\ \end{eqnarray*}

積分区間の入れ替え

    \begin{eqnarray*} -\int_a^b f(x) dx &=& \int_b^a f(x) dx \\\\ \end{eqnarray*}

積分区間の分割

    \begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx \\ \end{eqnarray*}

奇関数の積分

f(x) = x^{2n-1} のとき、

    \begin{eqnarray*} \int_{-a}^a f(x) dx &=& 0 \\ \end{eqnarray*}

偶関数の積分

f(x) = x^{2n} のとき、

    \begin{eqnarray*} \int_{-a}^a f(x) dx &=& 2\int_{0}^a f(x) dx \\\\ \end{eqnarray*}

-1/6 (β-α)^3の積分の公式

    \begin{eqnarray*} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) ~dx &=& -\cfrac{(\beta - \alpha)^3}{6} \\\\ \end{eqnarray*}

積分計算は通常それなりの労力がかかるものですが、この1/6公式を用いるとあっという間に計算することができます。
使用頻度も高い公式ですのでぜひ使えるようにしておきましょう。

【積分】1/6公式の証明と例題

定積分と面積

    \begin{eqnarray*} S &=& \int_a^b f(x) dx \\ \end{eqnarray*}

積分は面積を求める方法として有用であり、「面積を求めるには積分を行えば良い」ということは知識として身につけておかなければなりません。

しかし、そもそも定積分するとなぜ面積が求められるのでしょうか？

【基礎知識】定積分を計算するとなぜ面積が求まるのか

微分法と積分法のまとめのおわりに

その他の基礎知識は後日追加予定です。

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微分 積分

プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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