高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【基礎知識】定積分の説明とその例題

定積分の定義

今回は不定積分に積分区間という範囲を設けた、定積分について解説していきます。

定積分とは

関数 f(x) の原始関数の一つを F(x) とするとき、F(b)-F(a)f(x)a から b までの定積分といい、

    \begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx \end{eqnarray*}

と表します。

マスマスターの思考回路

a から b まで」のような積分に設けられた範囲を積分区間といいます。

また、F(b)-F(a)

    \begin{eqnarray*} \left[ F(x) \right]_a^b \end{eqnarray*}

と表します。

つまり、

    \begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

定積分の例題

一つ例題を扱ってみましょう。

    \begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2} x^2 dx \\ \end{eqnarray*}

を計算せよ。

解答例

マスマスターの思考回路

まずは x^2 の原始関数の一つを求めましょう。

x^2 の原始関数の一つは

    \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{2+1} ~ x^{2+1} &=& \cfrac{1}{3} ~ x^{3} \\\\ \end{eqnarray*}

となるので、

    \begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2} x^2 dx &=& \left[\cfrac{1}{3} ~ x^{3} \right]_{-1}^{2} \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

上式の右辺の x に2を代入した式から-1を代入した式を引くことにより、定積分の計算結果が求められます。

よって、

    \begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2} x^2 dx &=& \left[\cfrac{1}{3} ~ x^{3} \right]_{-1}^{2} \\\\ &=& \cfrac{1}{3} ~ (2)^{3} - \cfrac{1}{3} ~ (-1)^{3} \\\\ &=& \cfrac{8}{3} ~  + \cfrac{1}{3} \\\\ &=& \cfrac{9}{3} \\\\ &=& 3 \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

定積分の説明のおわりに

いかがでしたか?

今回は定積分とは何かについての基礎的な説明となりしたが、定積分をそのまま実行しようとすると非効率的な計算を行ってしまうことになる場合が多くあります。

そのような場合には計算ミスが発生するリスクも高まりますので、やみくもに定積分を実行することは避けるようにすることが懸命といえるでしょう。

定積分に関する各種公式を学ぶことによって、より効率的な定積分計算を行えるようになりますので、そちらもぜひ身につけておくようにしましょう。

【数II】微分法と積分法のまとめ

twitter はじめました!

中学生・高校生の方向けに、数学に関する相談、質問を受け付けています。
長期休暇中の課題について、数学の勉強方法についてなど、出来る範囲でお答えします。

ご応募いただいた内容はwebサイトの記事にする可能性がありますのでご了承ください。

-基礎知識
-