学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【積分】1/6公式の証明と例題

積分の1/6公式は、被積分関数が2次関数である積分計算を素早く行うための公式です。

積分計算は通常それなりの労力がかかるものですが、この1/6公式を用いるとあっという間に計算することができます。
使用頻度も高い公式ですのでぜひ使えるようにしておきましょう。

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式とは

\alpha, \beta ~(\alpha < \beta) を実数とするとき、

    \begin{eqnarray*} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) ~dx &=& -\cfrac{(\beta - \alpha)^3}{6} \\\\ \end{eqnarray*}

がなりたつ。

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式の証明

マスマスターの思考回路

左辺を普通に計算しましょう。

    \begin{eqnarray*} && \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) ~dx \\\\ &=& \int_{\alpha}^{\beta} x^2 -(\alpha + \beta)x + \alpha \beta ~dx \\\\ &=& \left[　\cfrac{x^3}{3} -(\alpha + \beta)\cfrac{x^2}{2} + \alpha \beta x　\right]_{\alpha}^{\beta} \\\\ &=& \cfrac{\beta^3 - \alpha^3}{3} -(\alpha + \beta)\cfrac{\beta^2 - \alpha^2}{2} + \alpha \beta (\beta - \alpha) \\\\ &=& \cfrac{(\beta - \alpha)(\beta^2 +\beta\alpha + \alpha^2)}{3} -(\alpha + \beta)\cfrac{(\beta - \alpha)(\beta + \alpha)}{2} + \alpha \beta (\beta - \alpha) \\\\ &=& (\beta - \alpha)\left\{ \cfrac{(\beta^2 +\beta\alpha + \alpha^2)}{3} -(\alpha + \beta)\cfrac{(\beta + \alpha)}{2} + \alpha \beta \right\} \\\\ &=& (\beta - \alpha)\left\{ \cfrac{2(\beta^2 +\beta\alpha + \alpha^2)}{6} -(\alpha + \beta)\cfrac{3(\beta + \alpha)}{6} + \cfrac{6}{6}~\alpha \beta \right\} \\\\ &=& \cfrac{(\beta - \alpha)}{6} \left\{ 2(\beta^2 +\beta\alpha + \alpha^2) - 3(\beta + \alpha )^2 + 6\alpha \beta \right\} \\\\ &=& \cfrac{(\beta - \alpha)}{6} \left\{ 2\beta^2 + 2\beta\alpha + 2\alpha^2 - 3\beta^2 - 6\beta \alpha - 3\alpha^2 + 6\alpha \beta \right\} \\\\ &=& \cfrac{(\beta - \alpha)}{6} ( -\beta^2 + 2\alpha \beta - \alpha^2 ) \\\\ &=& -\cfrac{(\beta - \alpha)}{6} ( \beta^2 - 2\alpha \beta + \alpha^2 ) \\\\ &=& -\cfrac{(\beta - \alpha)}{6} ( \beta - \alpha )^2 \\\\ &=& -\cfrac{(\beta - \alpha)^3}{6} \\\\ \end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) ~dx &=& -\cfrac{(\beta - \alpha)^3}{6} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

別解

厳密には数学3で学習する内容となりますが、次の式が成り立ちます。

    \begin{eqnarray*} \int (x-a)^n ~dx &=& \cfrac{(x-a)^{n+1}}{n+1} + C \\\\ \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

上式を利用しつつ次のように少し工夫して式変形すると、より簡単に証明することができます。

    \begin{eqnarray*} && \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) ~dx \\\\ &=& \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)\{(x-\alpha)+(\alpha-\beta)\} ~dx \\\\ &=& \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 + (x-\alpha)(\alpha-\beta) ~dx \\\\ &=&　\left[\cfrac{(x-\alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{\beta} + (\alpha-\beta)\left[\cfrac{(x-\alpha)^2}{2}\right]_{\alpha}^{\beta} \\\\ &=& \cfrac{(\beta-\alpha)^3}{3} + (\alpha-\beta)\cfrac{(\beta-\alpha)^2}{2} \\\\ &=& \cfrac{(\beta-\alpha)^3}{3} - (\beta - \alpha)\cfrac{(\beta-\alpha)^2}{2} \\\\ &=& \cfrac{(\beta-\alpha)^3}{3} - \cfrac{(\beta-\alpha)^3}{2} \\\\ &=& (\beta-\alpha)^3 \left(~\cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{2}~ \right) \\\\ &=& -\cfrac{(\beta - \alpha)^3}{6} \\\\ \end{eqnarray*}

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式の使い所

1/6公式は下図のように、2次以下の2つの関数によって囲まれた部分の面積を求めるような場合に使うことができます。

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式の使い所

実際に例題を解いてみましょう。

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式の例題

y=x+8 と y=2x^2-x-4 によって囲まれる部分の面積を求めよ。

マスマスターの思考回路

面積を求める問題では、まずグラフを描いてみましょう。

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式の例題

上図により求める面積は、

    \begin{eqnarray*} && \int_{-2}^{3} (x+8) - (2x^2-x-4) ~dx \\\\ &=& \int_{-2}^{3} x+8-2x^2+x+4 ~dx \\\\ &=& \int_{-2}^{3} -2x^2+2x+12 ~dx \\\\ &=& -2 \int_{-2}^{3} x^2-x-6 ~dx \\\\ &=& -2 \int_{-2}^{3} (x+2)(x-3) ~dx \\\\ &=& -2 \int_{-2}^{3} (x-(-2))(x-3) ~dx \\\\ &=& -2 \left( -\cfrac{\{3 - (-2)\}^3}{6} \right) \\\\ &=& -2 \left( -\cfrac{5^3}{6} \right) \\\\ &=& \cfrac{125}{3} \\\\ \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

\int_{-2}^{3} (x-(-2))(x-3) ~dx の部分は \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) ~dx と同じ式の形をしていますので、1/6公式を適用することができるということになります。

-1/6 (β-α)^3 の積分の公式の説明のおわりに

いかがでしたか？

関数によって囲まれた部分の面積を求める問題は頻出です。
1/6公式を使えるようにしておくことで大きく計算量を減らすことができますので、しっかり練習しておきましょう。

【数2】積分の各種公式の証明

【数II】微分法と積分法のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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