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公式

三角関数の和と積の公式の証明

三角関数の和と積の公式の証明

三角関数の公式の多くは加法定理から導かれますが、三角関数の和と積の公式も例外ではありません。

【公式】三角関数の加法定理の証明

そして式の形が複雑でとても覚えにくいものとなっていますので、無理に覚えなくて構いません。

ただし、覚えない代わりに、加法定理を使って自力で導出できるようにしておきましょう。

公式は覚えるものじゃないの?という方は下の記事をぜひご覧ください。

数学の公式は丸暗記しちゃダメ!公式は覚えるものではなく「証明」して作るものです

三角関数の積和の公式

    \begin{eqnarray*} \sin x \cos y &=& \cfrac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{2} \\\\ \cos x \sin y &=& \cfrac{\sin (x + y) - \sin (x - y)}{2} \\\\ \cos x \cos y &=& \cfrac{\cos (x + y) + \cos (x - y)}{2} \\\\ \sin x \sin y &=& - \cfrac{\cos (x + y) - \cos (x - y)}{2} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の積和の公式の証明

加法定理より、

(1)   \begin{eqnarray*} \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*} \sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \end{eqnarray*}

(3)   \begin{eqnarray*} \cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \end{eqnarray*}

(4)   \begin{eqnarray*} \cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \end{eqnarray*}

(1) + (2) より

(5)   \begin{eqnarray*} \sin (x + y) + \sin (x - y) = 2 \sin x \cos y \end{eqnarray*}

(1) - (2) より

(6)   \begin{eqnarray*} \sin (x + y) - \sin (x - y) = 2 \cos x \sin y \end{eqnarray*}

(3) + (4) より

(7)   \begin{eqnarray*} \cos (x + y) + \cos (x - y)= 2 \cos x \cos y \end{eqnarray*}

(3) - (4) より

(8)   \begin{eqnarray*} \cos (x + y) - \cos (x - y)= -2 \sin x \sin y \end{eqnarray*}

(5), (6), (7), (8)を右辺について解くと、

    \begin{eqnarray*} \sin x \cos y &=& \cfrac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{2} \\\\ \cos x \sin y &=& \cfrac{\sin (x + y) - \sin (x - y)}{2} \\\\ \cos x \cos y &=& \cfrac{\cos (x + y) + \cos (x - y)}{2} \\\\ \sin x \sin y &=& - \cfrac{\cos (x + y) - \cos (x - y)}{2} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されます。

三角関数の和積の公式

    \begin{eqnarray*} \sin A + \sin B &=& 2 \sin \cfrac{A+B}{2} \cos \cfrac{A-B}{2} \\\\ \sin A - \sin B &=& 2 \cos \cfrac{A+B}{2} \sin \cfrac{A-B}{2} \\\\ \cos A + \cos B &=& 2 \cos \cfrac{A+B}{2} \cos \cfrac{A-B}{2} \\\\ \cos A - \cos B &=& -2 \sin \cfrac{A+B}{2} \sin \cfrac{A-B}{2} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の和積の公式の証明

x + y = A, x - y = B とおくと、 x = \cfrac{A+B}{2}, y = \cfrac{A-B}{2}

であり、これを(5), (6), (7), (8)に代入すると、

    \begin{eqnarray*} \sin A + \sin B &=& 2 \sin \cfrac{A+B}{2} \cos \cfrac{A-B}{2} \\\\ \sin A - \sin B &=& 2 \cos \cfrac{A+B}{2} \sin \cfrac{A-B}{2} \\\\ \cos A + \cos B &=& 2 \cos \cfrac{A+B}{2} \cos \cfrac{A-B}{2} \\\\ \cos A - \cos B &=& -2 \sin \cfrac{A+B}{2} \sin \cfrac{A-B}{2} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されます。

三角関数の和と積の公式の説明のおわりに

いかがでしたか?

今回紹介した和と積の公式は非常に複雑で覚えにくいものとなっています。

しかし、導出の過程はとてもシンプルであり、加法定理を組み合わせて整理しているにすぎません。

よって、なるべく和と積の公式は覚えずに、こうすれば和と積の公式が作れるということだけを覚えておくにとどめておきましょう。

【三角関数】三角関数のまとめ

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