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【公式】三角関数の加法定理の証明

三角関数の加法定理

加法定理を学んでしまえば三角比で学習した公式のうち、いくつかは忘れてしまっても構わない(覚えておいた方が良いですが)というほど加法定理は役に立ちます。

これは、加法定理が三角比の公式のいくつかを一般化したものだからです。

ここでは加法定理の証明を行っていきましょう。

加法定理

加法定理とは下の三つの式のことをいいます。

    \begin{eqnarray*} \sin (\alpha \pm \beta) &=& \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\\\ \cos (\alpha \pm \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\\ \tan (\alpha \pm \beta) &=& \cfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \\\\ \end{eqnarray*}

(複合同順)

\cos (\alpha \pm \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta の証明

次のような図を考えます。

加法定理の証明

三角形OABに対し、余弦定理より

    \begin{eqnarray*}AB^2 &=& OB^2 + OA^2 -2OA \cdot OB \cos( \alpha - \beta)  \\\\&=& 1^2 + 1^2 -2 \cdot 1 \cdot 1 \cos( \alpha - \beta)    \\\\&=& 2 -2 \cos( \alpha - \beta) \\\\\end{eqnarray*}

また、AB^2二点間距離の公式から、

    \begin{eqnarray*}AB^2 &=& (\cos \beta - \cos \alpha )^2 + (\sin \beta - \sin \alpha )^2 \\\\&=& (\cos^2 \beta - 2 \cos \beta \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta - 2 \sin \beta \sin \alpha + \sin^2 \alpha) \\\\&=& (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) -2 (\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha) \\\\&=& (1) + (1) -2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta ) \\\\&=& 2 -2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta ) \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*}2 -2 \cos( \alpha - \beta) &=& 2 -2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta ) \\\\\end{eqnarray*}

これを整理すると、

    \begin{eqnarray*}\cos( \alpha - \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\\\\end{eqnarray*}

となります。

また、

    \begin{eqnarray*}\cos( \alpha + \beta ) &=& \cos( \alpha - ( - \beta) ) \\\\&=&\cos \alpha \cos (- \beta) + \sin \alpha \sin ( - \beta ) \\\\&=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\\\\end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} \cos (\alpha \pm \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

\sin (\alpha \pm \beta) &=& \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta の証明

    \begin{eqnarray*}\sin( \alpha + \beta ) &=& \cos\{ 90^\circ - (\alpha + \beta) \} \\\\&=& \cos\{ ( 90^\circ - \alpha ) - \beta \} \\\\&=& \cos( 90^\circ - \alpha ) \cos \beta + \sin( 90^\circ - \alpha ) \sin \beta \\\\&=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\\\\end{eqnarray*}

また、

    \begin{eqnarray*}\sin( \alpha - \beta ) &=& \sin\{ \alpha + (- \beta) \}  \\\\&=& \sin \alpha \cos (- \beta) + \cos \alpha \sin (- \beta) \\\\&=& \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \sin (\alpha \pm \beta) &=& \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

\tan (\alpha \pm \beta) &=& \cfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} の証明

    \begin{eqnarray*}\tan( \alpha + \beta ) &=& \cfrac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos ( \alpha + \beta ) } \\\\&=& \cfrac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} \\\\&=& \cfrac{ \cfrac{\sin \alpha}{ \cos \alpha} + \cfrac{\sin \beta}{\cos \beta} }{1 - \cfrac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} \\\\&=& \cfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \cdot \tan \beta} \\\\\end{eqnarray*}

また、

    \begin{eqnarray*}\tan( \alpha - \beta ) &=& \tan( \alpha + (- \beta) ) \\\\&=& \cfrac{\tan \alpha + \tan (- \beta)}{1 - \tan \alpha \cdot \tan (- \beta)} \\\\&=& \cfrac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \tan (\alpha \pm \beta) &=& \cfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

【三角関数】三角関数のまとめ

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