公式

【図形と方程式】二点間距離の公式の証明

x軸またはy軸に平行な二点の間の距離は、単純に座標の引き算をすれば求めることが出来ます。
しかし、x軸にもy軸にも平行でない二点についてはそこまで簡単には求めることができません。

そのような二点の間の距離を求めるための公式は、三平方の定理を用いることにより導くことができます。
ここではその公式の紹介と証明を行っていきます。

二点間距離の公式

点A(x_1, y_1)と点B(x_2, y_2)間の距離ABは、次の式によって求められます。

    \begin{eqnarray*} AB = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \end{eqnarray*}

二点間距離の公式の証明

次のような図を考えます。

二点間距離の式の証明

辺ACはx軸と平行、辺BCはy軸と平行になるような点Cを上の図のようにとると、△ABCは直角三角形となり、点Cの座標は(x_2, y_1)となります。

このとき、

(1)   \begin{eqnarray*} AC &=& x_2 - x_1 \\ \end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*} BC &=& y_2 - y_1 \\ \end{eqnarray*}

となります。

また、直角三角形ABCに三平方の定理を適用すると、

(3)   \begin{eqnarray*} AB^2 = AC^2 + BC^2 \\ \end{eqnarray*}

であり、(3)に(1)と(2)を代入すると、

    \begin{eqnarray*} AB^2 &=& (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \\ \end{eqnarray*}

となり、ABは辺の長さであることから、AB > 0なので、

    \begin{eqnarray*} AB = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

【基礎】図形と方程式のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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