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【図形と方程式】二点間距離の公式の証明

二点間距離の公式

x軸またはy軸に平行な二点の間の距離は、単純に座標の引き算をすれば求めることが出来ます。
しかし、x軸にもy軸にも平行でない二点についてはそこまで簡単には求めることができません。

そのような二点の間の距離を求めるための公式は、三平方の定理を用いることにより導くことができます。
ここではその公式の紹介と証明を行っていきます。

二点間距離の公式

点A(x_1, y_1)と点B(x_2, y_2)間の距離ABは、次の式によって求められます。

    \begin{eqnarray*} AB = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \end{eqnarray*}

二点間距離の公式の証明

次のような図を考えます。

二点間距離の式の証明

辺ACはx軸と平行、辺BCはy軸と平行になるような点Cを上の図のようにとると、△ABCは直角三角形となり、点Cの座標は(x_2, y_1)となります。

このとき、

(1)   \begin{eqnarray*} AC &=& x_2 - x_1 \\ \end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*} BC &=& y_2 - y_1 \\ \end{eqnarray*}

となります。

また、直角三角形ABCに三平方の定理を適用すると、

(3)   \begin{eqnarray*} AB^2 = AC^2 + BC^2 \\ \end{eqnarray*}

であり、(3)に(1)と(2)を代入すると、

    \begin{eqnarray*} AB^2 &=& (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \\ \end{eqnarray*}

となり、ABは辺の長さであることから、AB > 0なので、

    \begin{eqnarray*} AB = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

【基礎】図形と方程式のまとめ

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