学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

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【三角比】余弦定理の証明

三角比に関する重要な定理といえば「正弦定理」と「余弦定理」の二つになります。
三角形を計量するために必須となるこの二つの定理は、「道具」として重宝します。

道具としてすぐに使うためには、式の形を暗記している必要があるのですが、なぜそのような式が成り立つのかを知っていることも大切です。

今回は余弦定理についての証明を行っていきましょう。

余弦定理

余弦定理とは次のことをいいます。

余弦定理

上図の三角形について、

    \begin{eqnarray*} a^2 &=& b^2 + c^2 -2bc \cos A \\\\ b^2 &=& c^2 + a^2 -2ca \cos B \\\\ c^2 &=& a^2 + b^2 -2ab \cos C \\\\ \end{eqnarray*}

証明

点Aから辺BCに垂線AHをひきます。

余弦定理の証明

三角比の定義から、 BH = c \cos B ,　　 CH = b \cos C が成り立ちます。

三角形ABHと三角形ACHにおいて、三平方の定理より、

(1)   \begin{eqnarray*}AH^2 = c^2 - c^2 \cos^2 B = b^2 - b^2 \cos^2 C \\\end{eqnarray*}

となります。

また、a = c \cos B + b \cos Cより、

(2)   \begin{eqnarray*}\cos C = \cfrac{a - c \cos B}{b} \\\end{eqnarray*}

(2)を(1)に代入すると、

    \begin{eqnarray*} c^2 - c^2 \cos^2 B &=& b^2 - b^2 \cfrac{(a - c \cos B)^2}{b^2} \\\\ &=& b^2 - (a^2 - 2ac \cos B + c^2 \cos^2 B) \\\\ &=& b^2 - a^2 + 2ac \cos B - c^2 \cos^2 B \\\\ c^2 &=& b^2 - a^2 + 2ac \cos B \\\\ -b^2 &=& -c^2 - a^2 + 2ac \cos B \\\\ b^2 &=& c^2 + a^2 - 2ca \cos B \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} b^2 &=& c^2 + a^2 -2ca \cos B \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

他二つの式も同様にして求めることができますので、実際に手を動かして余弦定理を導出してみてください。

【三角比】三角比のまとめ

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三角比

プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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