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【三角比】余弦定理の証明

余弦定理

三角比に関する重要な定理といえば「正弦定理」と「余弦定理」の二つになります。
三角形を計量するために必須となるこの二つの定理は、「道具」として重宝します。

道具としてすぐに使うためには、式の形を暗記している必要があるのですが、なぜそのような式が成り立つのかを知っていることも大切です。

今回は余弦定理についての証明を行っていきましょう。

余弦定理

余弦定理とは次のことをいいます。

余弦定理

上図の三角形について、

    \begin{eqnarray*} a^2 &=& b^2 + c^2 -2bc \cos A \\\\ b^2 &=& c^2 + a^2 -2ca \cos B \\\\ c^2 &=& a^2 + b^2 -2ab \cos C \\\\ \end{eqnarray*}

証明

点Aから辺BCに垂線AHをひきます。

余弦定理の証明

三角比の定義から、 BH = c \cos B ,   CH = b \cos C が成り立ちます。

三角形ABHと三角形ACHにおいて、三平方の定理より、

(1)   \begin{eqnarray*}AH^2 = c^2 - c^2 \cos^2 B = b^2 - b^2 \cos^2 C \\\end{eqnarray*}

となります。

また、a = c \cos B + b \cos Cより、

(2)   \begin{eqnarray*}\cos C = \cfrac{a - c \cos B}{b} \\\end{eqnarray*}

(2)を(1)に代入すると、

    \begin{eqnarray*} c^2 - c^2 \cos^2 B &=& b^2 - b^2 \cfrac{(a - c \cos B)^2}{b^2} \\\\ &=& b^2 - (a^2 - 2ac \cos B + c^2 \cos^2 B) \\\\ &=& b^2 - a^2 + 2ac \cos B - c^2 \cos^2 B \\\\ c^2 &=& b^2 - a^2 + 2ac \cos B  \\\\ -b^2 &=& -c^2 - a^2 + 2ac \cos B  \\\\ b^2 &=& c^2 + a^2 - 2ca \cos B  \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} b^2 &=& c^2 + a^2 -2ca \cos B \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

他二つの式も同様にして求めることができますので、実際に手を動かして余弦定理を導出してみてください。

【三角比】三角比のまとめ

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