高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【三角比】三角比のまとめ

三角比のまとめ


1節 三角比

三角比

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三角比の拡張

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三角比の相互関係式

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1 \\\\ \tan \theta &=& \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \\\\ 1 + \tan^2 \theta &=& \cfrac{1}{\cos^2 \theta} \\\\ \end{eqnarray*}

【公式】三角比の相互関係式について

三角比の各種公式

90°- θの三角比

    \begin{eqnarray*} \sin (90^\circ - \theta) &=& \cos \theta \\\\ \cos (90^\circ - \theta) &=& \sin \theta \\\\ \tan (90^\circ - \theta) &=& \cfrac{1}{\tan \theta} \\\\ \end{eqnarray*}

-θの三角比

    \begin{eqnarray*} \sin (- \theta) &=& -\sin \theta \\\\ \cos (- \theta) &=& \cos \theta \\\\ \tan (- \theta) &=& -\tan \theta \\\\ \end{eqnarray*}

180°- θの三角比

    \begin{eqnarray*} \sin (180^\circ- \theta) &=& \sin \theta \\\\ \cos (180^\circ- \theta) &=& - \cos \theta \\\\ \tan (180^\circ- \theta) &=& -\tan \theta \\\\ \end{eqnarray*}

【公式】三角比の各種公式

2節 三角比と図形の計量

正弦定理

    \begin{eqnarray*} \cfrac{a}{\sin A} = \cfrac{b}{\sin B} = \cfrac{c}{\sin C} = 2R \end{eqnarray*}

ただし、 R は三角形 ABC の外接円半径

【三角比】正弦定理の証明

余弦定理

    \begin{eqnarray*} a^2 &=& b^2 + c^2 -2bc \cos A \\\\ b^2 &=& c^2 + a^2 -2ca \cos B \\\\ c^2 &=& a^2 + b^2 -2ab \cos C \\\\ \end{eqnarray*}

【三角比】余弦定理の証明

三角形の面積

三角比を用いた三角形の面積の公式

上図の三角形の面積 S は、

    \begin{eqnarray*} S = \cfrac{1}{2}~ab \sin \theta \\\\ \end{eqnarray*}

三角比を用いた三角形の面積の求め方

ヘロンの公式

ヘロンの公式

上図の三角形の面積 S は、

    \begin{eqnarray*} S &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{eqnarray*}

ただし、 s = \cfrac{a+b+c}{2}

ヘロンの公式の証明

空間図形の計量

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三角比のまとめのおわりに

その他の基礎知識は後日追加予定です。

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