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公式

三角比を用いた三角形の面積の求め方

三角比を用いた三角形の面積の求め方

一般に三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」により求めることができます。

しかしこの方法では、高さがわかっていないことによって面積が求められないという場合があります。

そのような場合でも、三角比を用いることによって三角形の面積を求めることが可能ですので、ここではその方法について説明していきます。

三角比を用いた三角形の面積の公式

三角比を用いた三角形の面積の公式

上図の三角形の面積 S は、

    \begin{eqnarray*} S = \cfrac{1}{2}~ab \sin \theta \\\\ \end{eqnarray*}

証明

次のように垂線を引き、その長さを h とします。

三角比を用いた三角形の面積の公式の証明

すると、三角形の面積 S は「底辺 × 高さ ÷ 2」であることにより、

(1)   \begin{eqnarray*} S &=& \cfrac{1}{2} ~bh \\\\ \end{eqnarray*}

と表されます。

また、三角比の定義により、

    \begin{eqnarray*} \sin \theta &=& \cfrac{h}{a} \\\\ \end{eqnarray*}

であり、これを h について解くと、

(2)   \begin{eqnarray*} h &=& a \sin \theta \\\\  \end{eqnarray*}

(2)式を(1)式に代入すると、

(3)   \begin{eqnarray*} S &=& \cfrac{1}{2} ~ba \sin \theta \\\\ &=& \cfrac{1}{2} ~ab \sin \theta \\\\ \end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} S = \cfrac{1}{2}~ab \sin \theta \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

三角比を用いた三角形の面積の公式の説明のおわりに

いかがでしたか?

公式の内容としては、一般に成立する三角形の面積公式である「底辺 × 高さ ÷ 2」の高さを三角比を用いて表現し直したものだと言えます。

式の形の覚え方として a, b, \theta は、三角形の合同条件にも使用される「2辺とその間の角」の位置関係となりますので、それと関連付けて覚えると良いかと思います。

今後、三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」だけでなく、本記事で紹介した方法で求める機会も多くなりますので、自在に扱えるように練習しておきましょう。

【三角比】三角比のまとめ

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