学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

三角比を用いた三角形の面積の求め方

一般に三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」により求めることができます。

しかしこの方法では、高さがわかっていないことによって面積が求められないという場合があります。

そのような場合でも、三角比を用いることによって三角形の面積を求めることが可能ですので、ここではその方法について説明していきます。

三角比を用いた三角形の面積の公式

三角比を用いた三角形の面積の公式

上図の三角形の面積 S は、

    \begin{eqnarray*} S = \cfrac{1}{2}~ab \sin \theta \\\\ \end{eqnarray*}

証明

次のように垂線を引き、その長さを h とします。

三角比を用いた三角形の面積の公式の証明

すると、三角形の面積 S は「底辺 × 高さ ÷ 2」であることにより、

(1)   \begin{eqnarray*} S &=& \cfrac{1}{2} ~bh \\\\ \end{eqnarray*}

と表されます。

また、三角比の定義により、

    \begin{eqnarray*} \sin \theta &=& \cfrac{h}{a} \\\\ \end{eqnarray*}

であり、これを h について解くと、

(2)   \begin{eqnarray*} h &=& a \sin \theta \\\\ \end{eqnarray*}

(2)式を(1)式に代入すると、

(3)   \begin{eqnarray*} S &=& \cfrac{1}{2} ~ba \sin \theta \\\\ &=& \cfrac{1}{2} ~ab \sin \theta \\\\ \end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} S = \cfrac{1}{2}~ab \sin \theta \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

三角比を用いた三角形の面積の公式の説明のおわりに

いかがでしたか？

公式の内容としては、一般に成立する三角形の面積公式である「底辺 × 高さ ÷ 2」の高さを三角比を用いて表現し直したものだと言えます。

式の形の覚え方として a, b, \theta は、三角形の合同条件にも使用される「2辺とその間の角」の位置関係となりますので、それと関連付けて覚えると良いかと思います。

今後、三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」だけでなく、本記事で紹介した方法で求める機会も多くなりますので、自在に扱えるように練習しておきましょう。

【三角比】三角比のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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