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公式

【三角比】正弦定理の証明

正弦定理の証明

ここでは三角比の重要公式である正弦定理についての説明を行います。

正弦定理を理解するには三角比よりも円周角の知識が重要となります。

しかし円周角についての知識は中学数学の内容で事足りますので、きっと理解できることでしょう。

正弦定理

三角形 ABC について、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{a}{\sin A} = \cfrac{b}{\sin B} = \cfrac{c}{\sin C} = 2R \end{eqnarray*}

ただし、 R は三角形 ABC の外接円半径

正弦定理の証明

ここでは、\cfrac{a}{\sin A} = 2R についてのみ証明を行います。

0° < ∠A ≦ 90° のとき

下図のように三角形 ABC に外接する円 O を考えます。

正弦定理の証明

半直線 BO と円 O との交点を A' とし、 A'C を結ぶと次のようになります。

正弦定理の証明

上図について、三角形 ABC の外接円半径を R とすると、

    \begin{eqnarray*} BA' = 2R \end{eqnarray*}

また BA' は円 O の直径となるので、

    \begin{eqnarray*} \angle A'CB = 90^{\circ} \end{eqnarray*}

となっています。

ここで、直角三角形 A'BC において、三角比の定義より

    \begin{eqnarray*} \sin A' &=& \cfrac{a}{2R} \\\\ \end{eqnarray*}

円周角の定理より A' = A なので、

    \begin{eqnarray*} \sin A' &=& \sin A \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \sin A &=& \cfrac{a}{2R} \\\\ \end{eqnarray*}

であり、これを変形すると

    \begin{eqnarray*} \cfrac{a}{\sin A} &=& 2R \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

90° < ∠A < 180° のとき

下図のように三角形 ABC に外接する円 O を考えます。

正弦定理の証明

半直線 BO と円 O との交点を A' とし、 A'C を結ぶと次のようになります。

正弦定理の証明

上図について、三角形 ABC の外接円半径を R とすると、

    \begin{eqnarray*} BA' = 2R \end{eqnarray*}

また BA' は円 O の直径となるので、

    \begin{eqnarray*} \angle A'CB = 90^{\circ} \end{eqnarray*}

となっています。

ここで、直角三角形 A'BC において、三角比の定義より

    \begin{eqnarray*} \sin A' &=& \cfrac{a}{2R} \\\\ \end{eqnarray*}

円に内接する四角形の性質より、対角の和は 180^{\circ} となるので

    \begin{eqnarray*} A + A' &=& 180^{\circ} \\\\ A' &=& 180^{\circ} - A \\\\ \sin A' &=& \sin ( 180^{\circ} - A ) \\\\ \end{eqnarray*}

180° - θの公式より、

    \begin{eqnarray*} \sin ( 180^{\circ} - A ) &=& \sin A \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つので

    \begin{eqnarray*} \sin A' &=& \sin A \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \sin A &=& \cfrac{a}{2R} \\\\ \end{eqnarray*}

であり、これを変形すると

    \begin{eqnarray*} \cfrac{a}{\sin A} &=& 2R \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

0° < ∠A < 180° のとき

以上により、0° < ∠A < 180° のとき

    \begin{eqnarray*} \cfrac{a}{\sin A} &=& 2R \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

正弦定理の説明の終わりに

いかがでしたか?

\cfrac{a}{\sin A} &=& 2R の証明と同様にして \cfrac{b}{\sin B} =  \cfrac{c}{\sin C} = 2R の証明もできますので、ぜひ手を動かして証明してみてください。

【三角比】三角比のまとめ

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