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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

円に内接する四角形

円に内接する四角形

円周角の定理を用いると、円に内接する四角形についての性質を導くことができます。

ここでは円に内接する四角形の対角の和が180°になることについてお話しします。

円に内接する四角形の対角の和は180°になる

円に内接する四角形

円に内接する上図の四角形について、

    \begin{eqnarray*} \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^{\circ} \end{eqnarray*}

が成り立つ。

証明

OB , OD を結び \angle BAD = A, \angle BCD = C とおきます。

円周角の定理より中心角は円周角の2倍の大きさであることを用いると、下図のようになります。

円に内接する四角形の対角の和は180°になる

上図より 2A + 2C = 360^{\circ} なので、

    \begin{eqnarray*} A + C = 180^{\circ} \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、点 OA , OC を結び、同様にすると

    \begin{eqnarray*} B + D = 180^{\circ} \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^{\circ} \end{eqnarray*}

が証明されました。

円に内接する四角形の説明のおわりに

いかがでしたか?

他にも円に内接する四角形について成り立つ性質はあるのですが、「対角の和が180°になる」という性質だけしっかり覚えておきましょう。

【基礎】図形の性質のまとめ

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