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公式

【公式】三角比の各種公式

数学の公式

三角比に関する公式はとても多く、しかも覚えにくいという特徴があります。

しかし、それは単純暗記に頼ってしまうことが原因です。

三角比に限ったことではありませんが、各種公式の導出方法自体を覚えその場で公式の導出を行えるような実力をつけることを目指しましょう。

どの公式もそうなのですが、\tan \thetaに対する公式は、\tan \theta = \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta}を利用して導出することが一般的です。

そのため、まずは\sin \thetaと、\cos \thetaに対する公式を求めることとなります。

90°- θの三角比

    \begin{eqnarray*} \sin (90^\circ - \theta) &=& \cos \theta \\\\ \cos (90^\circ - \theta) &=& \sin \theta \\\\ \tan (90^\circ - \theta) &=& \cfrac{1}{\tan \theta} \\\\ \end{eqnarray*}

証明

次のような図を考えます。

三角比の定義

三角形の内角の和は180^\circなので、

    \begin{eqnarray*}\angle A + \angle B + \angle C &=& 180^\circ \\\\\angle A + \theta + 90^\circ &=& 180^\circ \\\\\angle A &=& 90^\circ -\theta \\\\\end{eqnarray*}

となります。

三角比の定義から、

(1)   \begin{eqnarray*}\sin \theta &=& \cfrac{b}{c} \\\\\end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*}\cos \theta &=& \cfrac{a}{c} \\\\\end{eqnarray*}

(3)   \begin{eqnarray*}\tan \theta &=& \cfrac{b}{a} \\\\\end{eqnarray*}

同様に、

(4)   \begin{eqnarray*}\sin (90^\circ -\theta) &=& \cfrac{a}{c} \\\\\end{eqnarray*}

(5)   \begin{eqnarray*}\cos (90^\circ -\theta) &=& \cfrac{b}{c} \\\\\end{eqnarray*}

(6)   \begin{eqnarray*}\tan (90^\circ -\theta) &=& \cfrac{a}{b} \\\\\end{eqnarray*}

(2)(4)より、

    \begin{eqnarray*}\sin (90^\circ - \theta) &=& \cos \theta \\\\\end{eqnarray*}

(1)(5)より、

    \begin{eqnarray*}\cos (90^\circ - \theta) &=& \sin \theta \\\\\end{eqnarray*}

(3)(6)より、

    \begin{eqnarray*}\tan (90^\circ - \theta) &=& \cfrac{1}{\tan \theta} \\\\\end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} \sin (90^\circ - \theta) &=& \cos \theta \\\\ \cos (90^\circ - \theta) &=& \sin \theta \\\\ \tan (90^\circ - \theta) &=& \cfrac{1}{\tan \theta} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

-θの三角比

    \begin{eqnarray*} \sin (- \theta) &=& -\sin \theta \\\\ \cos (- \theta) &=& \cos \theta \\\\ \tan (- \theta) &=& -\tan \theta \\\\ \end{eqnarray*}

証明

次の図のような単位円を考えましょう。

-θの三角比

動径\thetaの正の向きは反時計回りと一般的に決められているので、青色の\theta- \thetaを意味しています。
よって、点Bの座標は( \cos ( - \theta) ,\sin ( - \theta) )となります。
また、辺OHは\angle AOBの二等分線であり、△OABは二等辺三角形なので、「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」ことにより、

    \begin{eqnarray*}AH &=& BH \\\\\angle OHA = \angle OHB &=& 90^\circ \\\\\end{eqnarray*}

となります。

よって、△OAHと△OBHはx軸に関して対象な図形となり、

    \begin{eqnarray*} \sin (- \theta) &=& -\sin \theta \\\\ \cos (- \theta) &=& \cos \theta \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

上の結果と、\tan \theta = \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta}より、

    \begin{eqnarray*}\tan (- \theta) &=& \cfrac{\sin (- \theta)}{\cos (- \theta)} \\\\&=& \cfrac{-\sin \theta}{\cos \theta} \\\\&=& - \tan \theta \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \sin (- \theta) &=& -\sin \theta \\\\ \cos (- \theta) &=& \cos \theta \\\\ \tan (- \theta) &=& - \tan \theta \\\\ \end{eqnarray*}

であることが証明されました。

180°- θの三角比

    \begin{eqnarray*} \sin (180^\circ- \theta) &=& \sin \theta \\\\ \cos (180^\circ- \theta) &=& - \cos \theta \\\\ \tan (180^\circ- \theta) &=& -\tan \theta \\\\ \end{eqnarray*}

証明

次の図のような単位円を考えましょう。

180 - θの三角比

- \thetaの三角比で証明した内容と同様にして、△OAHと△OBHはy軸に関して対象な図形となります。

これにより、

    \begin{eqnarray*} \sin (180^\circ- \theta) &=& \sin \theta \\\\ \cos (180^\circ- \theta) &=& - \cos \theta \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ち、

    \begin{eqnarray*}\tan (180^\circ - \theta) &=& \cfrac{\sin (180^\circ - \theta)}{ \cos (180^\circ - \theta)} \\\\&=& \cfrac{\sin \theta}{- \cos \theta} \\\\&=& - \tan \theta\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \sin (180^\circ- \theta) &=& \sin \theta \\\\ \cos (180^\circ- \theta) &=& - \cos \theta \\\\ \tan (180^\circ - \theta) &=& - \tan \theta \end{eqnarray*}

であることが証明されました。

三角比の公式のまとめの終わりに

その他の公式については後日公開の予定です。

【三角比】三角比のまとめ

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