高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【三角関数】三角関数のまとめ

三角関数のまとめ

三角関数は、数学Iで学習した三角比の拡張になります。

よって三角比に関する理解が不可欠ですので、三角比をしっかり理解しておきましょう。

【三角比】三角比のまとめ

三角関数はその名前から三角形に対して使うものというイメージがありますが、実は三角関数は回転運動に対してその力を発揮します。

物理との親和性も高いので、しっかり学習しておきましょう。

1節 三角関数

一般角

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弧度法

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三角関数

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三角関数のグラフ

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三角関数の応用

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2節 加法定理

三角関数の加法定理を用いて、種々の新たな公式を導くことができます。

それらの公式は、加法定理そのものよりも使用頻度が高いとも言える、とても重要な公式になります。

導出も暗記も万全にしておきましょう。

加法定理

後に学ぶ、2倍角・半角・3倍角の公式のもととなる重要定理である加法定理について学びましょう。

    \begin{eqnarray*} \sin (\alpha \pm \beta) &=& \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\\\ \cos (\alpha \pm \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\\ \tan (\alpha \pm \beta) &=& \cfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \\\\ \end{eqnarray*}

(複合同順)

【公式】三角関数の加法定理の証明

三角関数の2倍角の公式

    \begin{eqnarray*} \sin 2\alpha &=& 2\sin \alpha \cos \alpha \\\\ \cos 2\alpha &=& 2\cos^2 \alpha -1 = 1 - 2\sin^2 \alpha \\\\ \tan 2\alpha &=& \cfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \\\\ \end{eqnarray*}

【三角関数】三角関数の2倍角の公式の証明

三角関数の半角の公式

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 - \cos \alpha}{2} \\\\ \cos^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 + \cos \alpha}{2} \\\\ \tan^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \\\\ \end{eqnarray*}

【三角関数】三角関数の半角の公式の証明

三角関数の3倍角の公式

三角関数の3倍角の公式は使用頻度がそれほど高くありません(特に\tanの3倍角)ので、実際に必要となったときはうろ覚えの状態である可能性が高くなります。

しかし、加法定理と2倍角の公式から導出することができますので、それだけは覚えておき、不安なときはその場で導出するというのが現実的です。

2倍角、半角の公式も同様に、導出方法は必ず覚えておきましょう。

    \begin{eqnarray*} \sin 3\alpha &=& 3 \sin \alpha -4 \sin^3 \alpha \\\\ \cos 3\alpha &=& -3 \cos \alpha +4 \cos^3 \alpha \\\\ \tan 3\alpha &=& \cfrac{\tan^3 \alpha -3\tan \alpha}{3\tan^2 \alpha- 1} \\\\ \end{eqnarray*}

【三角関数】三角関数の3倍角の公式の証明

三角関数の合成の公式

    \begin{eqnarray*} a\sin \theta + b\cos \theta &=& \sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta + \alpha) \end{eqnarray*}

ただし、\alphaは、次の式を満たしていなければならない。

    \begin{eqnarray*} \cos \alpha &=& \cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\ \sin \alpha &=& \cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\ \end{eqnarray*}

【公式】三角関数の合成の公式の証明

三角関数の和と積の公式

三角関数の積和の公式

    \begin{eqnarray*} \sin x \cos y &=& \cfrac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{2} \\\\ \cos x \sin y &=& \cfrac{\sin (x + y) - \sin (x - y)}{2} \\\\ \cos x \cos y &=& \cfrac{\cos (x + y) + \cos (x - y)}{2} \\\\ \sin x \sin y &=& - \cfrac{\cos (x + y) - \cos (x - y)}{2} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の和積の公式

    \begin{eqnarray*} \sin A + \sin B &=& 2 \sin \cfrac{A+B}{2} \cos \cfrac{A-B}{2} \\\\ \sin A - \sin B &=& 2 \cos \cfrac{A+B}{2} \sin \cfrac{A-B}{2} \\\\ \cos A + \cos B &=& 2 \cos \cfrac{A+B}{2} \cos \cfrac{A-B}{2} \\\\ \cos A - \cos B &=& -2 \sin \cfrac{A+B}{2} \sin \cfrac{A-B}{2} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の和と積の公式の証明

三角関数のまとめのおわりに

その他の基礎知識は後日追加予定です。

数学IIの目次

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