学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【三角関数】三角関数のまとめ

ここでは数学2の「三角関数」についてまとめています。

三角関数は数学Iで学習した三角比の拡張ですので、不安な方はまず三角比をしっかり理解しておきましょう。

【三角比】三角比のまとめ

三角関数はその名前から三角形に対して使うものというイメージがありますが、実は三角関数は回転運動に対してその力を発揮します。

物理との親和性も高いので、しっかり学習しておきましょう。



1節　三角関数

一般角

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弧度法

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三角関数

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三角関数のグラフ

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三角関数の応用

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2節　加法定理

三角関数の加法定理を用いて、種々の新たな公式を導くことができます。

それらの公式は、加法定理そのものよりも使用頻度が高いとも言える、とても重要な公式になります。
導出も暗記も万全にしておきましょう。

加法定理

後に学ぶ、2倍角・半角・3倍角の公式のもととなる重要定理である加法定理について学びましょう。

    \begin{eqnarray*} \sin (\alpha \pm \beta) &=& \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\\\ \cos (\alpha \pm \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\\ \tan (\alpha \pm \beta) &=& \cfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \\\\ \end{eqnarray*}

（複合同順）

【公式】三角関数の加法定理の証明

三角関数の2倍角の公式

    \begin{eqnarray*} \sin 2\alpha &=& 2\sin \alpha \cos \alpha \\\\ \cos 2\alpha &=& 2\cos^2 \alpha -1 = 1 - 2\sin^2 \alpha \\\\ \tan 2\alpha &=& \cfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \\\\ \end{eqnarray*}

必ず自力で公式を導出できるようにしておきましょう。

【三角関数】三角関数の2倍角の公式の証明

三角関数の半角の公式

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 - \cos \alpha}{2} \\\\ \cos^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 + \cos \alpha}{2} \\\\ \tan^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \\\\ \end{eqnarray*}

必ず自力で公式を導出できるようにしておきましょう。

【三角関数】三角関数の半角の公式の証明

三角関数の3倍角の公式

    \begin{eqnarray*} \sin　3\alpha &=& 3 \sin \alpha -4 \sin^3 \alpha \\\\ \cos　3\alpha &=& -3 \cos \alpha +4 \cos^3 \alpha \\\\ \tan 3\alpha &=& \cfrac{\tan^3 \alpha -3\tan \alpha}{3\tan^2 \alpha- 1} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の3倍角の公式は使用頻度がそれほど高くありません（特に\tanの3倍角）ので、実際に必要となったときはうろ覚えの状態である可能性が高くなります。

しかし、加法定理と2倍角の公式から導出することができますので、それだけは覚えておき、不安なときはその場で導出するというのが現実的です。

2倍角、半角の公式も同様に、導出方法は必ず覚えておきましょう。

【三角関数】三角関数の3倍角の公式の証明

三角関数の合成の公式

    \begin{eqnarray*} a\sin \theta + b\cos \theta &=& \sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta + \alpha) \end{eqnarray*}

ただし、\alphaは、次の式を満たしていなければならない。

    \begin{eqnarray*} \cos \alpha &=& \cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\ \sin \alpha &=& \cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の合成は、 a\sin \theta + b\cos \theta のような相互関係式だけではうまく処理することができない場合に有効です。

そのときに応じた適切な処理方法が選択できるようにしましょう。

【公式】三角関数の合成の公式の証明

三角関数の和と積の公式

三角関数の和と積の公式は複雑でとても覚えにくいものとなっていますので、無理に覚えなくて構いません。

ただし、覚えない代わりに、加法定理を使って自力で導出できるようにしておきましょう。

三角関数の積和の公式

    \begin{eqnarray*} \sin x \cos y &=& \cfrac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{2} \\\\ \cos x \sin y &=& \cfrac{\sin (x + y) - \sin (x - y)}{2} \\\\ \cos x \cos y &=& \cfrac{\cos (x + y) + \cos (x - y)}{2} \\\\ \sin x \sin y &=& - \cfrac{\cos (x + y) - \cos (x - y)}{2} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の和積の公式

    \begin{eqnarray*} \sin A + \sin B &=& 2 \sin \cfrac{A+B}{2} \cos \cfrac{A-B}{2} \\\\ \sin A - \sin B &=& 2 \cos \cfrac{A+B}{2} \sin \cfrac{A-B}{2} \\\\ \cos A + \cos B &=& 2 \cos \cfrac{A+B}{2} \cos \cfrac{A-B}{2} \\\\ \cos A - \cos B &=& -2 \sin \cfrac{A+B}{2} \sin \cfrac{A-B}{2} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の和と積の公式の証明

三角関数のまとめのおわりに

その他の基礎知識は後日追加予定です。

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三角関数

プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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