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公式

【公式】三角関数の合成の公式の証明

三角関数の合成の公式

三角関数の計算は相互関係式を用いて、三角関数の種類(\sin, \cos, \tan)をいずれかに統一するという方針で進めることが基本になります。

しかし、 a\sin \theta + b\cos \theta という形の式の場合、相互関係式だけではうまく処理することができません。

このような場合には、三角関数の合成を行うことで三角関数の種類を一つに統一することができます。

それでは三角関数の合成について説明していきましょう。

三角関数の合成とは

三角関数の合成とは次のことをいいます。

    \begin{eqnarray*} a\sin \theta + b\cos \theta &=& \sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta + \alpha) \end{eqnarray*}

ただし、\alphaは、次の式を満たしていなければならない。

    \begin{eqnarray*} \cos \alpha &=& \cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\ \sin \alpha &=& \cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の合成の証明

次のような図を考えます。

直角三角形

このとき、三平方の定理より、

(1)   \begin{eqnarray*}a^2+b^2=r^2\end{eqnarray*}

また、三角比の定義より、

(2)   \begin{eqnarray*} a=r\cos \alpha \\\\ \end{eqnarray*}

(3)   \begin{eqnarray*}b=r\sin \alpha \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

ここで、a\sin \theta + b\cos \thetaに(2), (3)式を代入すると、

    \begin{eqnarray*}a\sin \theta + b\cos \theta &=& r\cos \alpha \sin \theta + r\sin \alpha\cos \theta\\\\&=& r\sin \theta \cos \alpha + r\cos \theta \sin \alpha\\\\&=& r(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha)\\\\\end{eqnarray*}

ここで加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha &=& \sin(\theta + \alpha)\end{eqnarray*}

なので、

    \begin{eqnarray*}a\sin \theta + b\cos \theta &=& r\sin(\theta + \alpha)\\\\\end{eqnarray*}

(1)式より、

(4)   \begin{eqnarray*}r = \sqrt{a^2+b^2}\end{eqnarray*}

なので、

    \begin{eqnarray*}a\sin \theta + b\cos \theta &=& \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \alpha)\\\\\end{eqnarray*}

ここで、(2), (3)式に(4)式を代入して整理すると、

    \begin{eqnarray*}\cos \alpha = \cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}\sin \alpha = \cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} a\sin \theta + b\cos \theta &=& \sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta + \alpha) \end{eqnarray*}

ただし、\alphaは、次の式を満たしていなければならない。

    \begin{eqnarray*} \cos \alpha &=& \cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\ \sin \alpha &=& \cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\ \end{eqnarray*}

であることが証明されました。

三角関数の合成公式の説明のおわりに

三角関数の相互関係式でもっともよく使われる式、 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 は二次式であることから、角関数の種類を一つに統一するには、その式が二次式で表現されていることが前提となるわけです。

よって、  a\sin \theta + b\cos \theta のような三角関数について一次式であるような式の場合は、相互関係式とは異なるアプローチで計算を行わなければならないということですね。

そのときに応じた適切な処理方法が判断できるように、経験を積んでいけると良いですね。

【三角関数】三角関数のまとめ

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