学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

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【公式】三角比の相互関係式について

三角比は高校一年生で学習する単元ですが、この三角比のせいで数学に対して苦手意識をもってしまう方が多くおられるのではないかと思うほど、鬼門となる単元だと思われます。

今回はそんな三角比をしっかり理解できるように、一番の基本となる三角比の相互関係式の説明を行っていきます。

三角比の相互関係式

三角比の相互関係式とは、下の3つの式のことをいいます。

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1 \\\\ \tan \theta &=& \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \\\\ 1 + \tan^2 \theta &=& \cfrac{1}{\cos^2 \theta} \\\\ \end{eqnarray*}

三角比の相互関係式の証明

三角比の定義
図.1

図.1に対し、三角比の定義より、

    \begin{eqnarray*}\sin \theta &=& \cfrac{b}{c} \\\\\cos \theta &=& \cfrac{a}{c} \\\\\end{eqnarray*}

となります。これをそれぞれb, aについて解くと、

(1)   \begin{eqnarray*}b &=& c \sin \theta \\\\\end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*}a &=& c \cos \theta \\\\\end{eqnarray*}

また、三平方の定理より、

(3)   \begin{eqnarray*}a^2 + b^2 = c^2 \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ち、(3)に(1)と(2)を代入すると、

    \begin{eqnarray*}(c \cos \theta)^2 + (c \sin \theta)^2 &=& c^2 \\\\c^2 \cos^2 \theta + c^2 \sin^2 \theta &=& c^2 \\\\\end{eqnarray*}

両辺をc^2 \neq 0 で割り、左辺の項を入れ替えると、

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

図.1に対し、三角比の定義より、

(4)   \begin{eqnarray*}\tan \theta = \cfrac{b}{a} \\\\\end{eqnarray*}

(4)に(1)と(2)を代入すると、

    \begin{eqnarray*}\tan \theta &=& \cfrac{c \sin \theta}{c \cos \theta} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \tan \theta &=& \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、ここまでの結果を利用すると、

    \begin{eqnarray*}1 + \tan^2 \theta &=& 1 + \left( \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)^2 \\\\&=& 1 + \cfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \\\\&=& \cfrac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} \\\\&=& \cfrac{1}{\cos^2 \theta} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} 1 + \tan^2 \theta &=& \cfrac{1}{\cos^2 \theta}　 \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1 \\\\ \tan \theta &=& \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \\\\ 1 + \tan^2 \theta &=& \cfrac{1}{\cos^2 \theta} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

三角比の相互関係式のまとめ

三角比の相互関係式の証明はそれほど難しくないので、三角比の定義さえ知っていれば理解できたかと思います。

これらの式は、三角比に関する問題を解く上での基本中の基本となりますので、
まずはこれら3つの式をしっかりおさえておきましょう。

【三角比】三角比のまとめ

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三角比

プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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