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【公式】三角比の相互関係式について

三角比の相互関係式

三角比は高校一年生で学習する単元ですが、この三角比のせいで数学に対して苦手意識をもってしまう方が多くおられるのではないかと思うほど、鬼門となる単元だと思われます。

今回はそんな三角比をしっかり理解できるように、一番の基本となる三角比の相互関係式の説明を行っていきます。

三角比の相互関係式

三角比の相互関係式とは、下の3つの式のことをいいます。

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1 \\\\ \tan \theta &=& \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \\\\ 1 + \tan^2 \theta &=& \cfrac{1}{\cos^2 \theta} \\\\ \end{eqnarray*}

三角比の相互関係式の証明

三角比の定義
図.1

図.1に対し、三角比の定義より、

    \begin{eqnarray*}\sin \theta &=& \cfrac{b}{c} \\\\\cos \theta &=& \cfrac{a}{c} \\\\\end{eqnarray*}

となります。これをそれぞれb, aについて解くと、

(1)   \begin{eqnarray*}b &=& c \sin \theta \\\\\end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*}a &=& c \cos \theta \\\\\end{eqnarray*}

また、三平方の定理より、

(3)   \begin{eqnarray*}a^2 + b^2 = c^2 \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ち、(3)に(1)と(2)を代入すると、

    \begin{eqnarray*}(c \cos \theta)^2 + (c \sin \theta)^2 &=& c^2 \\\\c^2 \cos^2 \theta + c^2 \sin^2 \theta &=& c^2 \\\\\end{eqnarray*}

両辺をc^2 \neq 0 で割り、左辺の項を入れ替えると、

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

図.1に対し、三角比の定義より、

(4)   \begin{eqnarray*}\tan \theta = \cfrac{b}{a} \\\\\end{eqnarray*}

(4)に(1)と(2)を代入すると、

    \begin{eqnarray*}\tan \theta &=& \cfrac{c \sin \theta}{c \cos \theta} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \tan \theta &=& \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、ここまでの結果を利用すると、

    \begin{eqnarray*}1 + \tan^2 \theta &=& 1 + \left( \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)^2 \\\\&=& 1 + \cfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \\\\&=& \cfrac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} \\\\&=& \cfrac{1}{\cos^2 \theta} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} 1 + \tan^2 \theta &=& \cfrac{1}{\cos^2 \theta}  \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1 \\\\ \tan \theta &=& \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \\\\ 1 + \tan^2 \theta &=& \cfrac{1}{\cos^2 \theta} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

三角比の相互関係式のまとめ

三角比の相互関係式の証明はそれほど難しくないので、三角比の定義さえ知っていれば理解できたかと思います。

これらの式は、三角比に関する問題を解く上での基本中の基本となりますので、
まずはこれら3つの式をしっかりおさえておきましょう。

【三角比】三角比のまとめ

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