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公式

【三角関数】三角関数の半角の公式の証明

三角関数の半角の公式

ここでは、三角関数の半角の公式の証明を行います。

三角関数の2倍角の公式の知識が必要になりますので、まずはそちらをしっかり理解しておきましょう。

三角関数の半角の公式

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 - \cos \alpha}{2} \\\\ \cos^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 + \cos \alpha}{2} \\\\ \tan^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の半角の公式の証明

三角関数の2倍角の公式より、

    \begin{eqnarray*}\cos 2\alpha &=& 1 - 2\sin^2 \alpha \\\\2\sin^2 \alpha &=& 1 - \cos 2\alpha \\\\\sin^2 \alpha &=& \cfrac{1 - \cos 2\alpha}{2} \\\\\end{eqnarray*}

上式の\alpha\cfrac{\alpha}{2}に置き換えると、

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 - \cos \alpha}{2} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、三角関数の2倍角の公式より、

    \begin{eqnarray*}\cos 2\alpha &=& 2\cos^2 \alpha -1 \\\\- 2\cos^2 \alpha &=& - \cos 2\alpha -1 \\\\2\cos^2 \alpha &=& 1 + \cos 2\alpha\\\\\cos^2 \alpha &=& \cfrac{1 + \cos 2\alpha}{2} \\\\\end{eqnarray*}

上式の\alpha\cfrac{\alpha}{2}に置き換えると、

    \begin{eqnarray*} \cos^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 + \cos \alpha}{2} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

三角比の相互関係より、\tan \alpha = \cfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}であることと、ここまでの結果を用いて、

    \begin{eqnarray*}\tan^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{\sin^2 \cfrac{\alpha}{2}}{\cos^2 \cfrac{\alpha}{2}} \\\\&=& \cfrac{\cfrac{1 - \cos \alpha}{2}}{\cfrac{1 + \cos \alpha}{2}} \\\\&=& \cfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \tan^2 \cfrac{\alpha}{2} = \cfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} \sin^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 - \cos \alpha}{2} \\\\ \cos^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 + \cos \alpha}{2} \\\\ \tan^2 \cfrac{\alpha}{2} &=& \cfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \\\\ \end{eqnarray*}

であることが証明されました。

【三角関数】三角関数のまとめ

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