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【三角関数】三角関数の2倍角の公式の証明

三角関数の2倍角の公式

ここでは、三角関数の2倍角の公式の証明を行います。

加法定理の知識が必要になりますので、まずはそちらをしっかり理解しておきましょう。

三角関数の2倍角の公式

    \begin{eqnarray*} \sin 2\alpha &=& 2\sin \alpha \cos \alpha \\\\ \cos 2\alpha &=& 2\cos^2 \alpha -1 = 1 - 2\sin^2 \alpha \\\\ \tan 2\alpha &=& \cfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の2倍角の公式の証明

加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\sin(\alpha + \beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\\\\end{eqnarray*}

であり、上式に\beta = \alphaを代入すると、

    \begin{eqnarray*}\sin(\alpha + \alpha) &=& \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\\\\sin(2\alpha) &=& \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \sin 2\alpha &=& 2\sin \alpha \cos \alpha \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\\\\end{eqnarray*}

であり、上式に\beta = \alphaを代入すると、

    \begin{eqnarray*}\cos (\alpha + \alpha) &=& \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \\\\\cos (2\alpha) &=& \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\\\\end{eqnarray*}

\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alphaより、

    \begin{eqnarray*}\cos 2\alpha &=& \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha) \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \cos 2\alpha &=& 2 \cos^2 \alpha - 1 \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

三角比の相互関係式より、上式に\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alphaを代入すると、

    \begin{eqnarray*}\cos 2\alpha &=& 2 (1 - \sin^2 \alpha) - 1 \\\\&=& 2 - 2\sin^2 \alpha - 1 \\\\&=& 1 - 2\sin^2 \alpha \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \cos 2\alpha &=& 1 - 2\sin^2 \alpha \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\tan (\alpha + \beta) &=& \cfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \\\\\end{eqnarray*}

であり、上式に\beta = \alphaを代入すると、

    \begin{eqnarray*}\tan (\alpha + \alpha) &=& \cfrac{\tan \alpha + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha \tan \alpha} \\\\\tan (2\alpha) &=& \cfrac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \tan 2\alpha &=& \cfrac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} \sin 2\alpha &=& 2\sin \alpha \cos \alpha \\\\ \cos 2\alpha &=& 2\cos^2 \alpha -1 = 1 - 2\sin^2 \alpha \\\\ \tan 2\alpha &=& \cfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

【三角関数】三角関数のまとめ

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