高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【三角関数】三角関数の3倍角の公式の証明

三角関数の3倍角の公式

ここでは、三角関数の3倍角の公式の証明を行います。

三角関数の3倍角の公式を理解するには、加法定理2倍角の公式の知識が必要になりますので、まずはそちらをしっかり学習しておきましょう。

三角関数の3倍角の公式

    \begin{eqnarray*} \sin 3\alpha &=& 3 \sin \alpha -4 \sin^3 \alpha \\\\ \cos 3\alpha &=& -3 \cos \alpha +4 \cos^3 \alpha \\\\ \tan 3\alpha &=& \cfrac{\tan^3 \alpha -3\tan \alpha}{3\tan^2 \alpha- 1} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の3倍角の公式の証明

三角関数の加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\sin (\alpha + \beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\\\\end{eqnarray*}

上式に\beta = 2\alphaを代入すると、

    \begin{eqnarray*}\sin (\alpha + 2\alpha) &=& \sin \alpha \cos 2\alpha + \cos \alpha \sin 2\alpha \\\\\end{eqnarray*}

三角関数の2倍角の公式より、

    \begin{eqnarray*}\cos 2\alpha &=& 1 - 2\sin^2 \alpha \\\\\sin 2\alpha &=& 2\sin \alpha \cos \alpha \\\\\end{eqnarray*}

なので、

    \begin{eqnarray*}\sin 3\alpha &=& \sin \alpha (1 - 2\sin^2 \alpha) + \cos \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha) \\\\&=& \sin \alpha - 2\sin^3 \alpha + 2\sin \alpha \cos^2 \alpha \\\\&=& \sin \alpha - 2\sin^3 \alpha + 2\sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) \\\\&=& \sin \alpha - 2\sin^3 \alpha + 2\sin \alpha - 2\sin^3 \alpha \\\\&=& 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \sin 3\alpha &=& 3 \sin \alpha -4 \sin^3 \alpha \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、三角関数の加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\\\\end{eqnarray*}

上式に\beta = 2\alphaを代入すると、

    \begin{eqnarray*}\cos (\alpha + 2\alpha) &=& \cos \alpha \cos 2\alpha - \sin \alpha \sin 2\alpha \\\\\end{eqnarray*}

三角関数の2倍角の公式より、

    \begin{eqnarray*}\cos 2\alpha &=& 2\cos^2 \alpha - 1\\\\\sin 2\alpha &=& 2\sin \alpha \cos \alpha \\\\\end{eqnarray*}

なので、

    \begin{eqnarray*}\cos 3\alpha &=& \cos \alpha (2\cos^2 \alpha - 1) - \sin \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha) \\\\&=& 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2\sin^2 \alpha \cos \alpha \\\\&=& 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2(1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha \\\\&=& 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2\cos \alpha + 2\cos^3 \alpha \\\\&=& - 3\cos \alpha + 4\cos^3 \alpha \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \cos 3\alpha &=& - 3\cos \alpha + 4\cos^3 \alpha \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、三角関数の加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\tan (\alpha + \beta) &=& \cfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \\\\\end{eqnarray*}

上式に\beta = 2\alphaを代入すると、

    \begin{eqnarray*}\tan (\alpha + 2\alpha) &=& \cfrac{\tan \alpha + \tan 2\alpha}{1 - \tan \alpha \tan 2\alpha} \\\\\end{eqnarray*}

三角関数の2倍角の公式より、

    \begin{eqnarray*}\tan 2\alpha &=& \cfrac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\\\\\end{eqnarray*}

なので、

    \begin{eqnarray*}\tan 3\alpha &=& \cfrac{\tan \alpha + \cfrac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}}{1 - \tan \alpha \cfrac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}} \\\\&=& \cfrac{\tan \alpha(1 - \tan^2 \alpha) + 2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha - \tan \alpha 2\tan \alpha} \\\\&=& \cfrac{\tan \alpha - \tan^3 \alpha + 2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha - 2\tan^2 \alpha} \\\\&=& \cfrac{- \tan^3 \alpha + 3\tan \alpha}{1 - 3\tan^2 \alpha} \\\\&=& \cfrac{\tan^3 \alpha - 3\tan \alpha}{3\tan^2 \alpha - 1} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \tan 3\alpha &=& \cfrac{\tan^3 \alpha -3\tan \alpha}{3\tan^2 \alpha- 1} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} \sin 3\alpha &=& 3 \sin \alpha -4 \sin^3 \alpha \\\\ \cos 3\alpha &=& -3 \cos \alpha +4 \cos^3 \alpha \\\\ \tan 3\alpha &=& \cfrac{\tan^3 \alpha -3\tan \alpha}{3\tan^2 \alpha- 1} \\\\ \end{eqnarray*}

であることが証明されました。

【三角関数】三角関数のまとめ

twitter はじめました!

中学生・高校生の方向けに、数学に関する相談、質問を受け付けています。
長期休暇中の課題について、数学の勉強方法についてなど、出来る範囲でお答えします。

ご応募いただいた内容はwebサイトの記事にする可能性がありますのでご了承ください。

-公式
-