公式

【数II】微分の各種公式の証明

今回は、微分の各種公式についての説明を行っていきます。

数III範囲の微分の公式については下記をご参考ください。

【数III】微分の公式のまとめ

微分の定義を用いて証明を行いますので、微分の定義を確認しておきましょう。

【微分】微分の定義とその意味について解説するよ

それでは各種公式の紹介と証明を行っていきます。

定数の微分の公式

f(x) = c ( c は定数)のとき、

    \begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}

証明

    \begin{eqnarray*} f'(x) &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \\\\ &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{c - c}{h} \\\\ &=& \lim_{h \to 0} 0 \\\\ &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

以上により、

f(x) = c ( c は定数)のとき、

    \begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}

が証明されました。

定数倍の微分の公式

k が定数のとき、

    \begin{eqnarray*} \{kf(x)\}' = kf'(x) \end{eqnarray*}

証明

    \begin{eqnarray*} \{kf(x)\}' &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{kf(x + h) - kf(x)}{h} \\\\ &=& \lim_{h \to 0} k \cfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \\\\ &=& k \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \\\\ &=& k f'(x) \end{eqnarray*}

以上により、

k が定数のとき、

    \begin{eqnarray*} \{kf(x)\}' = kf'(x) \end{eqnarray*}

が証明されました。

和の微分の公式

    \begin{eqnarray*} \{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x) \end{eqnarray*}

証明

    \begin{eqnarray*} \{f(x) + g(x)\}' &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{\{f(x+h) + g(x+h)\} - \{f(x) + g(x)\}}{h} \\\\ &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{\{f(x+h) - f(x)\} + \{ g(x+h)\ - g(x)\}}{h} \\\\ &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x+h) - f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \cfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \\\\ &=& f'(x) + g'(x)  \end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} \{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x) \end{eqnarray*}

が証明されました。

微分の各種公式の証明のおわりに

いかがでしたか?

数II範囲での微分の公式は数えるほどしかありませんが、数III範囲では多くの公式を学ぶこととなります。数III範囲の微分の公式は下を参考にしてください。

【数III】微分の公式のまとめ

今回紹介した公式は微分を学習するうえでの基本となりますので、公式として特別に意識することなく、自在に扱えるようにしておきましょう。

【数II】微分法と積分法のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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