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基礎知識

【基礎知識】定積分を計算するとなぜ面積が求まるのか

数学の基礎

積分を行うと、とても複雑で量も多い計算を強いられることが多くあります。

積分は面積を求める方法として有用であり、「面積を求めるには積分を行えば良い」ということは知識として身につけておかなければなりません。

しかし、そもそも定積分するとなぜ面積が求められるのでしょうか?

今回はこの問いに対して答えていきたいと思います。

準備として、まずは不定積分定積分について理解しておきましょう。

定積分するとなぜ面積が求められるのか

まずゴールを設定しましょう。

x座標がaからbまでの部分でf(x)~(f(x) \geqq 0)~x軸によって囲まれた部分の面積Sは次の式により求めることができます。

    \begin{eqnarray*} S = \int_a^b f(x) dx \\ \end{eqnarray*}

ではゴールを目指して証明をしていきます。

次の図について考えます。

積分するとなぜ面積が求められるのか

x座標がaからx(a \leqq x \leqq b)までの部分と、xからx+dx(本例ではdx>0とします)までの部分で、y=f(x)x軸によって囲まれた部分の面積をそれぞれS(x), dSとします。

このとき、横幅dx(xからdxまでの間の長さ)で、高さがm, Mの二つの長方形の面積とdSとについて、下の関係が成り立ちます。

(1)   \begin{eqnarray*}m \cdot dx \leqq dS \leqq M \cdot dx\end{eqnarray*}

また、

(2)   \begin{eqnarray*}dS = S(x+dx)-S(x)\end{eqnarray*}

なので、(1)と(2)より、

    \begin{eqnarray*}m \cdot dx \leqq S(x+dx)-S(x) \leqq M \cdot dx\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

各辺をdxで割ると、

(3)   \begin{eqnarray*}m \leqq \cfrac{S(x+dx)-S(x)}{dx} \leqq M \\\end{eqnarray*}

となります。

m=f(x+dx)M=f(x)を(3)に代入すると

    \begin{eqnarray*}f(x+dx) \leqq \cfrac{S(x+dx)-S(x)}{dx} \leqq f(x) \\\end{eqnarray*}

となり、この各辺のdx0の極限を求めると、

    \begin{eqnarray*}f(x) \leqq S'(x) \leqq f(x) \\\end{eqnarray*}

となります。

つまり、

    \begin{eqnarray*}S'(x) = f(x) \\\end{eqnarray*}

であることがわかります。

これを積分すると、

(4)   \begin{eqnarray*}S(x) &=& \int f(x) dx\\\\&=& F(x) + C\\\\\end{eqnarray*}

となります。積分定数Cを具体的に求めていきましょう。

(4)にx=aを代入すると、

    \begin{eqnarray*}S(a) &=& F(a) + C\\\end{eqnarray*}

とりますが、S(a)aからaまでの部分でf(x)x軸によって囲まれた部分の面積なので、S(a)=0となります。(aからaまでの部分の横幅は0なので、どんな高さであろうが面積は0になります)

よって、

    \begin{eqnarray*}C &=& -F(a) \\\end{eqnarray*}

となり、これを(4)に代入すると、

(5)   \begin{eqnarray*}S(x) &=& F(x) -F(a)\\\end{eqnarray*}

となります。

続いて、x=bを(5)に代入すると、

(6)   \begin{eqnarray*}S(b) &=& F(b) -F(a)\\\end{eqnarray*}

となりますが、S(b)x座標がaからbまでの部分でf(x)x軸によって囲まれた部分の面積なので、S(b)は証明のはじめにゴールとして設定したSに等しく、S(b)=Sとなります。これを(6)に代入すると、

(7)   \begin{eqnarray*}S &=& F(b) -F(a)\\\end{eqnarray*}

となります。

また、定積分の定義から、

(8)   \begin{eqnarray*}\int_a^b f(x) dx = F(b) -F(a)\\\end{eqnarray*}


なので、(7)と(8)より、

    \begin{eqnarray*} S &=& \int_a^b f(x) dx \\ \end{eqnarray*}

であることが証明されました。

定積分を計算すると面積が求まります

いかがでしたか?
定積分を行うと、面積が求まるということは理解できたでしょうか?

積分の計算は複雑で、ミスが起きやすいし、面倒だし、、、
と、嘆く方が多くいらっしゃると思いますが、このような図形的な意味がちゃんとあるということを覚えておくと良いかと思います。

【数II】微分法と積分法のまとめ

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