【基礎知識】乃木坂46の「いつかできるから今日できる」を数学的命題として解釈する
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基礎知識
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【基礎知識】不定積分とは
積分の学習は、まず不定積分を学ぶことから始まります。
定期テスト以外で実際に不定積分やその結果が何かを問われることは多くありませんが、不定積分は積分を考える上での基礎となりますので、しっかり理解しておきましょう。
原始関数
マスマスターの思考回路
下の式を満たす$F(x)$を$f(x)$の原始関数といいます。
$$\begin{array}{rcl}
F'(x) = f(x)
\end{array}$$
マスマスターの思考回路
つまり、微分すると$f(x)$になるような関数を$F(x)$という記号で定義しようということです。
原始関数の例
例えば、 $x^2 + 1$ の微分は、
$$\begin{array}{rcl} (x^2 + 1)’ &=& 2x \\\\ \end{array}$$となります。
$x^2 + 1$ を微分すると $2x$ になるということは、 $x^2 + 1$ は $2x$ の原始関数であることがわかります。
次に、$x^2 + 2$ の微分を考えると、
$$\begin{array}{rcl} (x^2 + 2)’ &=& 2x \\\\ \end{array}$$となり、$x^2 + 2$ は $2x$ の原始関数であることがわかります。
マスマスターの思考回路
$x^2 + 1$ と $x^2 + 2$ は共に $2x$ の原始関数となります。
このように、ある関数の原始関数はただ一つには定まらず、無限に存在し、それらは定数部分だけが異なると言えます。
不定積分とは
ある関数の原始関数は定数部分の違いを考慮すると無限に存在しますので、それらをまとめて $F(x) + C$ と表します。（ $C$を積分定数と呼びます）
このとき、
$$\begin{array}{rcl}
\int f(x) dx = F(x) + C\\
\end{array}$$
で定義される $\int f(x) dx$ を $f(x)$ の不定積分といいます。
また、このときの $f(x)$ を被積分関数といい、 $\int f(x) dx$ を求めることを $f(x)$ を積分するといいます。
不定積分の例題
マスマスターの思考回路
不定積分は原始関数により定義され、原始関数は微分するとその関数になる関数ですから、積分は微分の逆の計算であるということになります。
例題を解いてみましょう。
不定積分 $\int 2x^2 dx $ を計算せよ。
マスマスターの思考回路
微分すると $2x^2$ になる関数が何かを探し当てましょう。
微分すると次数が一つ下がりますので、$x^3$ でしょうか？
しかし $(x^3)’ = 3x^2$ ですから、係数部分を調整しなければなりませんね。
係数3が2になれば良いので、 $\frac{2}{3}$ 倍した関数である、 $\frac{2}{3}x^3$ を考えてみます。
$(\frac{2}{3} x^3)’ = \frac{2}{3} (3x^2) = 2x^2$
よって、微分すると $2x^2$ になる関数は $\frac{2}{3} x^3$ であることがわかりました。
被積分関数 $2x^2$ の原始関数の一つは、 $\cfrac{2}{3} ~x^3$ であることから、解答は、
$$\begin{array}{rcl}
\int 2x^2 dx &=& \cfrac{2}{3} ~x^3 + C \\\\
\end{array}$$
$C$ は積分定数
となります。
マスマスターの思考回路
「原始関数の一つは」という言い方をしましたが、これは原始関数は無限に存在し、それらのうち定数部分が0であるものは $\frac{2}{3} x^3$ であるという意味合いとなります。
積分定数は一般に $C$ としてしまう（つまりなんでも良い）ので原始関数の一つを考えるときは、簡単のために定数部分が0であるものを考えましょう。
また、上の解答では「 $C$ は積分定数」と付け加えていますが、これは実際に問題を解くときにも付け加えなければならないものになりますので注意してください。
不定積分の説明のおわりに
いかがでしたか？
今回の例題では、原始関数を「見つける」という方針で解きましたが、原始関数が見つからなかったら困りますよね？
そんな場合にも対応できるように、原始関数を機械的に求める方法の一つとして、xのn乗の不定積分があります。
xのn乗の微分とともに微積分で最も基本的な公式となりますので、しっかり身につけておきましょう。
【数II】微分法と積分法のまとめ
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プロフィール
-このサイトの記事を書いている人-
某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。
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不定積分を定義するためには、まず原始関数というものを定義する必要があります。
不定積分への準備段階となりますので、原始関数についても理解しておきましょう。