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公式

【公式】xのn乗の微分

xのn乗の微分

微分の定義を用いればどのような関数でも微分することが可能ですが、微分の定義に従って微分を行うことは骨の折れる作業となります。

そこで微分を公式化することを考えましょう。

ここではxのn乗の微分の公式について解説していきます。

xのn乗の微分

xのn乗の微分は次のようになります。

    \begin{eqnarray*} (x^n)' &=& nx^{n-1} \\\\ \end{eqnarray*}

xのn乗の微分の証明

f(x) = x^n とおきます。

微分の定義より、

    \begin{eqnarray*} f'(x) &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\ \end{eqnarray*}

(1)   \begin{eqnarray*} &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{(x+h)^n-x^n}{h} \\\\ \end{eqnarray*}

ここで二項定理より、

(2)   \begin{eqnarray*} (x+h)^n &=& x^n + nx^{n-1}h + \cfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \end{eqnarray*}

となるので、(2)式を(1)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*} f'(x) &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{x^n + nx^{n-1}h + \cfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n -x^n}{h} \\\\ &=& \lim_{h \to 0} \cfrac{nx^{n-1}h + \cfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} \\\\ &=& \lim_{h \to 0} nx^{n-1} + \cfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \\\\ &=& nx^{n-1} \\\\ \end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} (x^n)' &=& nx^{n-1} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

xのn乗の微分の説明のおわりに

いかがでしたか?

あまり使う機会の多くない二項定理ですが、こんなところで役に立つとは意外なものですね。

マスマスターの思考回路

(x^n)' &=& nx^{n-1} はその公式自体よりも n が具体的な数値のときに滞りなく計算できることが大切かと思います。

x^n の微分は、「次数を係数にし、次数を一つ減らす」といったように手順のように記憶しておくようにしましょう。

xのn乗の微分は基本中の基本ですから、特別な公式のようなものでなく、当たり前のものとして使いこなせるように練習しておきましょう。

【数II】微分法と積分法のまとめ

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