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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【公式】xのn乗の不定積分

xのn乗の不定積分

積分計算は原始関数を見つけることができれば実行可能ですが、「見つける」という作業には「見つからない」という結果となってしまう可能性が含まれています。

微分とは異なり、積分は全ての関数について機械的に行うことはできません。
しかし基本的な関数については公式が存在しますので、それを用いれば「見つける」作業を行わずに機械的に積分を行うことができます。

ここではxのn乗の不定積分の公式について説明を行います。

xのn乗の不定積分

xのn乗の不定積分は次の式のようになります。

    \begin{eqnarray*} \int x^n dx &=& \cfrac{1}{n+1} ~x^{n+1} + C \\\\ \end{eqnarray*}

C は積分定数

xのn乗の不定積分の証明

xのn乗の微分より、

    \begin{eqnarray*} (x^n)' &=& nx^{n-1} \\\\ \end{eqnarray*}

であり、これを次のように変形します。

    \begin{eqnarray*} nx^{n-1} &=& (x^n)'  \\\\ x^{n-1} &=& \cfrac{1}{n} ~(x^n)'  \\\\ \end{eqnarray*}

両辺を x で積分すると、

    \begin{eqnarray*} \int x^{n-1}dx &=& \int \cfrac{1}{n} ~(x^n)' dx \\\\ \end{eqnarray*}

積分の定数倍の公式より、\cfrac{1}{n} は定数であることから、 \int の前に出すことができるので、

    \begin{eqnarray*} \int \cfrac{1}{n} ~(x^n)' dx &=& \cfrac{1}{n} \int (x^n)' dx \\\\ &=& \cfrac{1}{n} ~x^n + C \\\\ \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

\int (x^n)' dxx^n + C となりますが、これは x^n に対して微分したものを積分しているのでつまり何もしていないことと同じになるからです。
ただし、不定積分を実行したことにより積分定数が必要となることに注意してください。

上式の x^{n-1}x^n に置き換えると、

    \begin{eqnarray*} \int x^{n}dx &=& \cfrac{1}{n} ~x^{n+1} + C \\\\ \end{eqnarray*}

以上により

    \begin{eqnarray*} \int x^n dx &=& \cfrac{1}{n+1} ~x^{n+1} + C \\\\ \end{eqnarray*}

C は積分定数

が証明されました。

xのn乗の不定積分の説明のおわりに

いかがでしたか?

積分は微分の逆の計算になりますので、微分の公式をもとに積分の公式を導くことができますが、全ての場合でそうではありません。

そのような場合についてはここでは触れませんが、少なくとも公式として広く知られているものについては知っておくようにしましょう。

【数II】微分法と積分法のまとめ

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