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基礎知識

【基礎知識】複素数平面のまとめ

複素数平面のまとめ

複素数の表現方法は、直交座標系の点(x, y)を一対一に対応させたx+yiによるものと、極形式r(\cos \theta + i\sin \theta)によるものがあります。

極形式に対する公式は特に重要ですので、しっかり理解しておきましょう。

1節 複素数平面

複素数平面

まずは複素数平面とは何なのかという基礎の基礎知識を学習しましょう。

【複素数平面】複素数平面の基礎

共役複素数

複素数z, ~wに対し、

    \begin{eqnarray*} \overline{z+w} &=& \overline{z}+\overline{w} \\\\ \overline{z-w} &=& \overline{z}-\overline{w} \\\\ \overline{zw} &=& \overline{z}~\overline{w} \\\\ \overline{\left( \cfrac{z}{w} \right)} &=& \cfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \\\\ \end{eqnarray*}

【複素数平面】複素数平面の共役複素数に関する公式

複素数の絶対値

複素数z, ~wに対し、

    \begin{eqnarray*} |zw| &=& |z||w| \\\\ \left| \cfrac{z}{w} \right| &=& \cfrac{|z|}{|w|} \\\\ \end{eqnarray*}

【複素数平面】複素数の絶対値に関する公式

複素数の極形式

z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), ~z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)のとき、

    \begin{eqnarray*}z_1z_2 &=& r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) ) \\\\\cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) ) \\\\\end{eqnarray*}

【複素数平面】極形式で表された複素数の積と商の公式の証明

複素数の偏角

    \begin{eqnarray*} arg ~(z_1z_2) &=& arg ~(z_1) + arg ~(z_2) \\\\ arg ~(\cfrac{z_1}{z_2}) &=& arg ~(z_1) - arg ~(z_2) \\\\ \end{eqnarray*}

【複素数平面】複素数の偏角について

ド・モアブルの定理

整数nについて、

    \begin{eqnarray*} (\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& \cos n\theta + i\sin n\theta \\\\ \end{eqnarray*}

【複素数平面】ド・モアブルの定理の証明

複素数の図形への応用

公開までしばらくお待ちください。

複素数平面の公式のまとめの終わりに

複素数という得体の知れないものは、実は今までに学習した三角関数指数・対数関数と密接に結びついています。
そう考えると複素数を、少し身近なものに感じられるかもしれませんね。

数学IIIの目次

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