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【複素数平面】ド・モアブルの定理の証明

ド・モアブルの定理

ここではド・モアブルの定理の証明を行います。

ド・モアブルの定理は複素数の極形式のn乗に関する式であり、ド・モアブルの定理を利用すると複素数の累乗や、三角関数の2倍角3倍角といった n倍角を簡単に求めることができます。

ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理とは次のことをいいます。

整数nについて、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& \cos n\theta + i\sin n\theta \\\\\end{eqnarray*}

ド・モアブルの定理の証明

数学的帰納法を用いて証明を行います。

nが自然数のとき

n=1のとき、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& (\cos \theta + i\sin \theta)^1 \\\\&=& \cos \theta + i\sin \theta \\\\\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}\cos n\theta + i\sin n\theta &=& \cos 1 \cdot \theta + i\sin 1 \cdot \theta \\\\&=& \cos \theta + i\sin \theta \\\\\end{eqnarray*}

より、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& \cos n\theta + i\sin n\theta \\\\\end{eqnarray*}

は成り立ちます。

n=kのとき、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& \cos n\theta + i\sin n\theta \\\\\end{eqnarray*}

が成り立つと仮定すると、

(1)   \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^k &=& \cos k\theta + i\sin k\theta \\\\\end{eqnarray*}

であり、

n=k+1のとき、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^{k+1} &=& (\cos \theta + i\sin \theta)^{k}(\cos \theta + i\sin \theta) \\\\\end{eqnarray*}

(1)式より、

    \begin{eqnarray*}&=& (\cos k\theta + i\sin k\theta)(\cos \theta + i\sin \theta) \\\\&=& \cos k\theta \cos \theta + i \cos k\theta \sin \theta + i\sin k\theta \cos \theta - \sin k\theta \sin \theta \\\\&=& \cos k\theta \cos \theta - \sin k\theta \sin \theta + i (\sin k\theta \cos \theta + \cos k\theta \sin \theta ) \\\\\end{eqnarray*}

ここで、加法定理を用いると、

    \begin{eqnarray*}&=& \cos (k\theta + \theta) + i \sin (k\theta + \theta) \\\\&=& \cos (k + 1)\theta + i \sin (k + 1)\theta \\\\\end{eqnarray*}

よって、n=k+1のときも

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& \cos n\theta + i\sin n\theta \\\\\end{eqnarray*}

は成り立ちます。

以上により、

n \geqq 1のとき、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& \cos n\theta + i\sin n\theta \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

nが0のとき

n=0のとき、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& (\cos \theta + i\sin \theta)^0 \\\\&=& 1 \\\\\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}\cos n\theta + i\sin n\theta &=& \cos 0 \cdot \theta + i\sin 0 \cdot \theta \\\\&=& \cos 0 + i\sin 0 \\\\&=& 1 \\\\\end{eqnarray*}

よって、

n = 0のとき、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& \cos n\theta + i\sin n\theta \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

nが負のとき

n < 0のとき、 n=-mとおくと、m > 0であり、ここまでの結果から、

(2)   \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^m &=& \cos m\theta + i\sin m\theta \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

このとき、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& (\cos \theta + i\sin \theta)^{-m} \\\\&=& \cfrac{1}{(\cos \theta + i\sin \theta)^{m} } \\\\\end{eqnarray*}

(2)式より、

    \begin{eqnarray*}&=& \cfrac{1}{ \cos m\theta + i\sin m\theta } \\\\&=& \cfrac{\cos m\theta - i\sin m\theta}{ (\cos m\theta + i\sin m\theta) (\cos m\theta - i\sin m\theta) } \\\\&=& \cfrac{\cos m\theta - i\sin m\theta}{ \cos^2 m\theta + \sin^2 m\theta } \\\\&=& \cos m\theta - i\sin m\theta \\\\\end{eqnarray*}

n=-mとおいているので、m=-nであるから、

    \begin{eqnarray*}&=& \cos (-n\theta) - i\sin (-n\theta) \\\\&=& \cos n\theta + i\sin n\theta \\\\\end{eqnarray*}

よって、

n < 0のとき、

    \begin{eqnarray*} (\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& \cos n\theta + i\sin n\theta \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

整数nについて、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^n &=& \cos n\theta + i\sin n\theta \\\\\end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

ド・モアブルの定理を用いた三角関数の3倍角の式の導出

ド・モアブルの定理を用いて三角関数のn倍角の式を導出することができます。
ここでは、ド・モアブルの定理を用いて三角関数の3倍角の公式を導出してみましょう。

ド・モアブルの定理より、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^3 &=& \cos 3\theta + i\sin 3\theta \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。上式の左辺は、

    \begin{eqnarray*}(\cos \theta + i\sin \theta)^3 &=& \cos^3 \theta + 3 \cos^2 \theta (i\sin \theta) + 3 \cos \theta (i\sin \theta)^2 + (i\sin \theta)^3 \\\\&=& \cos^3 \theta + 3i \cos^2 \theta \sin \theta - 3 \cos \theta \sin^2 \theta -i\sin^3 \theta \\\\&=& \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^2 \theta + i( 3 \cos^2 \theta \sin \theta -\sin^3 \theta ) \\\\&=& \cos^3 \theta - 3 \cos \theta (1 - \cos^2 \theta) + i\{ 3 (1 - \sin^2 \theta) \sin \theta -\sin^3 \theta \} \\\\&=& \cos^3 \theta - 3 \cos \theta +3 \cos^3 \theta + i( 3\sin \theta - 3 \sin^3 \theta -\sin^3 \theta ) \\\\&=& - 3 \cos \theta + 4 \cos^3 \theta + i( 3\sin \theta - 4 \sin^3 \theta) \\\\\end{eqnarray*}

であり、この結果とド・モアブルの定理の式の右辺との実部・虚部の係数を比較することにより、三角関数の3倍角の公式である、

    \begin{eqnarray*}\cos 3\theta &=& - 3 \cos \theta + 4 \cos^3 \theta \\\\\sin 3\theta &=& 3\sin \theta - 4 \sin^3 \theta\\\\\end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

ド・モアブルの定理の説明のおわりに

ド・モアブルの定理は、証明せずとも複素数の回転についての知識があれば直感的に理解できるかと思います。

複素数のn乗を求める際は、ド・モアブルの定理を利用してみてください。

【基礎知識】複素数平面のまとめ

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