公式

【複素数平面】極形式で表された複素数の積と商の公式の証明

複素数を扱うことの大きなメリットの一つとして、簡単に回転を扱えるというものがあります。
なぜ複素数によって、回転を扱うことができるのでしょうか?

今回は複素数の回転ついて説明していきたいと思います。

極形式で表された複素数の積と商の公式

極形式で表現された複素数に対し、次の式が成立します。

z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), ~z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)のとき、

    \begin{eqnarray*} z_1z_2 &=& r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

極形式で表された複素数の積の式の証明

絶対値をr_1, r_2, 、偏角を\theta_1, \theta_2とし、極形式で表現した二つの複素数z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)の積を考えます。

    \begin{eqnarray*}z_1z_2 &=& r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) \\\\&=& r_1r_2(\cos \theta_1\cos \theta_2 + i\cos \theta_1\sin \theta_2 + i\sin \theta_1\cos \theta_2 - \sin \theta_1\sin \theta_2) \\\\&=& r_1r_2((\cos \theta_1\cos \theta_2 - \sin \theta_1\sin \theta_2) + i(\sin \theta_1\cos \theta_2 + \cos \theta_1\sin \theta_2) ) \\\\\end{eqnarray*}

ここで加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\cos(\theta_1 + \theta_2) &=& \cos \theta_1\cos \theta_2 - \sin \theta_1\sin \theta_2 \\\\\sin(\theta_1 + \theta_2) &=& \sin \theta_1\cos \theta_2 + \cos \theta_1\sin \theta_2 \\\\\end{eqnarray*}

が成り立つので、

    \begin{eqnarray*} z_1z_2 &=& r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

となります。

これを実際に図で見てみましょう。

複素数の積

マスマスターの思考回路

z_1z_2をかけたことによって、絶対値はr_2倍になり、偏角は\theta_2だけ大きくなります。
複素数をかけると偏角が変化する(つまり回転する)ということがとても重要なのですが、絶対値も変化するということも覚えておきましょう。

極形式で表された複素数の商の式の証明

次は割り算の場合を考えます。実際に計算してみましょう。

    \begin{eqnarray*}\cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)}{r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)} \\\\&=& \cfrac{r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)(\cos \theta_2 - i\sin \theta_2)}{r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)(\cos \theta_2 - i\sin \theta_2)} \\\\&=& \cfrac{r_1 (\cos \theta_1 \cos \theta_2 - i\cos \theta_1 \sin \theta_2 + i\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) }{r_2(\cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta_2)} \\\\&=& \cfrac{r_1 ( (\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 - \cos \theta_1 \sin \theta_2 ) ) }{r_2} \\\\\end{eqnarray*}

ここで加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\cos(\theta_1 - \theta_2) &=& \cos \theta_1\cos \theta_2 + \sin \theta_1\sin \theta_2 \\\\\sin(\theta_1 - \theta_2) &=& \sin \theta_1\cos \theta_2 - \cos \theta_1\sin \theta_2 \\\\\end{eqnarray*}

が成り立つので、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

z_1z_2で割ったことによって、絶対値は\cfrac{1}{r_2}倍になり、偏角は\theta_2だけ小さくなります。

積の場合と同様にして偏角が変化していますが、商の場合は偏角が小さくなっています。
つまり、時計回りに回転するということですね。

以上から、

z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), ~z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)のとき、

    \begin{eqnarray*} z_1z_2 &=& r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

【基礎知識】複素数平面のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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