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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【複素数平面】極形式で表された複素数の積と商の公式の証明

極形式の複素数の積と商

複素数を扱うことの大きなメリットの一つとして、簡単に回転を扱えるというものがあります。
なぜ複素数によって、回転を扱うことができるのでしょうか?

今回は複素数の回転ついて説明していきたいと思います。

極形式で表された複素数の積と商の公式

極形式で表現された複素数に対し、次の式が成立します。

z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), ~z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)のとき、

    \begin{eqnarray*} z_1z_2 &=& r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

極形式で表された複素数の積の式の証明

絶対値をr_1, r_2, 、偏角を\theta_1, \theta_2とし、極形式で表現した二つの複素数z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)の積を考えます。

    \begin{eqnarray*}z_1z_2 &=& r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) \\\\&=& r_1r_2(\cos \theta_1\cos \theta_2 + i\cos \theta_1\sin \theta_2 + i\sin \theta_1\cos \theta_2 - \sin \theta_1\sin \theta_2) \\\\&=& r_1r_2((\cos \theta_1\cos \theta_2 - \sin \theta_1\sin \theta_2) + i(\sin \theta_1\cos \theta_2 + \cos \theta_1\sin \theta_2) ) \\\\\end{eqnarray*}

ここで加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\cos(\theta_1 + \theta_2) &=& \cos \theta_1\cos \theta_2 - \sin \theta_1\sin \theta_2 \\\\\sin(\theta_1 + \theta_2) &=& \sin \theta_1\cos \theta_2 + \cos \theta_1\sin \theta_2 \\\\\end{eqnarray*}

が成り立つので、

    \begin{eqnarray*} z_1z_2 &=& r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

となります。

これを実際に図で見てみましょう。

複素数の積

マスマスターの思考回路

z_1z_2をかけたことによって、絶対値はr_2倍になり、偏角は\theta_2だけ大きくなります。
複素数をかけると偏角が変化する(つまり回転する)ということがとても重要なのですが、絶対値も変化するということも覚えておきましょう。

極形式で表された複素数の商の式の証明

次は割り算の場合を考えます。実際に計算してみましょう。

    \begin{eqnarray*}\cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)}{r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)} \\\\&=& \cfrac{r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)(\cos \theta_2 - i\sin \theta_2)}{r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)(\cos \theta_2 - i\sin \theta_2)} \\\\&=& \cfrac{r_1 (\cos \theta_1 \cos \theta_2 - i\cos \theta_1 \sin \theta_2 + i\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) }{r_2(\cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta_2)} \\\\&=& \cfrac{r_1 ( (\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 - \cos \theta_1 \sin \theta_2 ) ) }{r_2} \\\\\end{eqnarray*}

ここで加法定理より、

    \begin{eqnarray*}\cos(\theta_1 - \theta_2) &=& \cos \theta_1\cos \theta_2 + \sin \theta_1\sin \theta_2 \\\\\sin(\theta_1 - \theta_2) &=& \sin \theta_1\cos \theta_2 - \cos \theta_1\sin \theta_2 \\\\\end{eqnarray*}

が成り立つので、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

z_1z_2で割ったことによって、絶対値は\cfrac{1}{r_2}倍になり、偏角は\theta_2だけ小さくなります。

積の場合と同様にして偏角が変化していますが、商の場合は偏角が小さくなっています。
つまり、時計回りに回転するということですね。

以上から、

z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), ~z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)のとき、

    \begin{eqnarray*} z_1z_2 &=& r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) ) \\ \end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

【基礎知識】複素数平面のまとめ

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