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公式

【複素数平面】複素数平面の共役複素数に関する公式

共役複素数と四則演算

複素数平面の基礎計算公式は、どれもシンプルで簡単に覚えられるものばかりです。
覚えるのに苦労はしませんが、一度は自分の手を動かして証明してみるとよいかと思います。

ここでは、z = a+bi, w= c+diとし、zの共役複素数は\overline{z} = a-biと表すものとします。

共役複素数に関する公式

複素数の共役をとる操作は四則演算に対して交換可能であり、以下の式が成り立ちます。

複素数z, ~wに対し、

    \begin{eqnarray*} \overline{z+w} &=& \overline{z}+\overline{w} \\\\ \overline{z-w} &=& \overline{z}-\overline{w} \\\\ \overline{zw} &=& \overline{z}~\overline{w} \\\\ \overline{\left( \cfrac{z}{w} \right)} &=& \cfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \\\\ \end{eqnarray*}

共役複素数に関する公式の証明

    \begin{eqnarray*}\overline{z+w} &=& \overline{(a+bi)+(c+di)} \\\\&=& \overline{(a+c)+(b+d)i} \\\\&=& (a+c)-(b+d)i \\\\&=& (a-bi) + (c-di) \\\\&=& \overline{z}+\overline{w} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \overline{z+w} &=& \overline{z}+\overline{w} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

    \begin{eqnarray*}\overline{z-w} &=& \overline{(a+bi)-(c+di)} \\\\&=& \overline{(a-c)+(b-d)i} \\\\&=& (a-c)-(b-d)i \\\\&=& (a-bi) - (c-di) \\\\&=& \overline{z}-\overline{w} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \overline{z-w} &=& \overline{z}-\overline{w} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

    \begin{eqnarray*}\overline{zw} &=& \overline{(a+bi)(c+di)} \\\\&=& \overline{ac+adi+bci+bdi^2} \\\\&=& \overline{ac+adi+bci-bd} \\\\&=& \overline{(ac-bd)+(ad+bc)i} \\\\&=& (ac-bd)-(ad+bc)i \\\\&=& (a-bi)(c-di) \\\\&=& \overline{z}~\overline{w}\\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \overline{zw} &=& \overline{z}~\overline{w}\\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

    \begin{eqnarray*}\overline{\left( \cfrac{z}{w} \right)} &=& \overline{\left( \cfrac{a+bi}{c+di} \right)} \\\\&=& \overline{ \left\{ \cfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} \right\}} \\\\&=& \overline{ \left( \cfrac{ac-adi+bci+bd}{c^2+d^2} \right) } \\\\&=& \overline{ \left( \cfrac{ac+bd}{c^2+d^2} - \cfrac{ad-bc}{c^2+d^2}~i \right) } \\\\&=& \left( \cfrac{ac+bd}{c^2+d^2} + \cfrac{ad-bc}{c^2+d^2}~i \right)\\\\&=& \cfrac{ac+adi+bd-bci}{c^2+d^2} \\\\&=& \cfrac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)} \\\\&=& \cfrac{(a-bi)}{(c-di)} \\\\&=& \cfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \overline{\left( \cfrac{z}{w} \right)} &=& \cfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

複素数z, ~wに対し、

    \begin{eqnarray*} \overline{z+w} &=& \overline{z}+\overline{w} \\\\ \overline{z-w} &=& \overline{z}-\overline{w} \\\\ \overline{zw} &=& \overline{z}~\overline{w} \\\\ \overline{\left( \cfrac{z}{w} \right)} &=& \cfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

【基礎知識】複素数平面のまとめ

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