公式

【複素数平面】複素数平面の共役複素数に関する公式

複素数平面の基礎計算公式は、どれもシンプルで簡単に覚えられるものばかりです。
覚えるのに苦労はしませんが、一度は自分の手を動かして証明してみるとよいかと思います。

ここでは、z = a+bi, w= c+diとし、zの共役複素数は\overline{z} = a-biと表すものとします。

共役複素数に関する公式

複素数の共役をとる操作は四則演算に対して交換可能であり、以下の式が成り立ちます。

複素数z, ~wに対し、

    \begin{eqnarray*} \overline{z+w} &=& \overline{z}+\overline{w} \\\\ \overline{z-w} &=& \overline{z}-\overline{w} \\\\ \overline{zw} &=& \overline{z}~\overline{w} \\\\ \overline{\left( \cfrac{z}{w} \right)} &=& \cfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \\\\ \end{eqnarray*}

共役複素数に関する公式の証明

    \begin{eqnarray*}\overline{z+w} &=& \overline{(a+bi)+(c+di)} \\\\&=& \overline{(a+c)+(b+d)i} \\\\&=& (a+c)-(b+d)i \\\\&=& (a-bi) + (c-di) \\\\&=& \overline{z}+\overline{w} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \overline{z+w} &=& \overline{z}+\overline{w} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

    \begin{eqnarray*}\overline{z-w} &=& \overline{(a+bi)-(c+di)} \\\\&=& \overline{(a-c)+(b-d)i} \\\\&=& (a-c)-(b-d)i \\\\&=& (a-bi) - (c-di) \\\\&=& \overline{z}-\overline{w} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \overline{z-w} &=& \overline{z}-\overline{w} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

    \begin{eqnarray*}\overline{zw} &=& \overline{(a+bi)(c+di)} \\\\&=& \overline{ac+adi+bci+bdi^2} \\\\&=& \overline{ac+adi+bci-bd} \\\\&=& \overline{(ac-bd)+(ad+bc)i} \\\\&=& (ac-bd)-(ad+bc)i \\\\&=& (a-bi)(c-di) \\\\&=& \overline{z}~\overline{w}\\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \overline{zw} &=& \overline{z}~\overline{w}\\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

    \begin{eqnarray*}\overline{\left( \cfrac{z}{w} \right)} &=& \overline{\left( \cfrac{a+bi}{c+di} \right)} \\\\&=& \overline{ \left\{ \cfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} \right\}} \\\\&=& \overline{ \left( \cfrac{ac-adi+bci+bd}{c^2+d^2} \right) } \\\\&=& \overline{ \left( \cfrac{ac+bd}{c^2+d^2} - \cfrac{ad-bc}{c^2+d^2}~i \right) } \\\\&=& \left( \cfrac{ac+bd}{c^2+d^2} + \cfrac{ad-bc}{c^2+d^2}~i \right)\\\\&=& \cfrac{ac+adi+bd-bci}{c^2+d^2} \\\\&=& \cfrac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)} \\\\&=& \cfrac{(a-bi)}{(c-di)} \\\\&=& \cfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \overline{\left( \cfrac{z}{w} \right)} &=& \cfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

複素数z, ~wに対し、

    \begin{eqnarray*} \overline{z+w} &=& \overline{z}+\overline{w} \\\\ \overline{z-w} &=& \overline{z}-\overline{w} \\\\ \overline{zw} &=& \overline{z}~\overline{w} \\\\ \overline{\left( \cfrac{z}{w} \right)} &=& \cfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つことが証明されました。

【基礎知識】複素数平面のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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