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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【複素数平面】複素数の偏角について

複素数の偏角

複素数を扱うことの大きなメリットの一つとして、簡単に回転を扱えるというものがあります。
複素数平面上において、複素数と実軸とのなす角を偏角といい、偏角により回転角を扱います。

ここでは偏角の計算方法について説明していきます。

複素数の積の偏角は和になり、商は差になる

    \begin{eqnarray*} arg ~(z_1z_2) &=& arg ~(z_1) + arg ~(z_2) \\\\ arg ~(\cfrac{z_1}{z_2}) &=& arg ~(z_1) - arg ~(z_2) \\\\ \end{eqnarray*}

複素数の積の偏角は和になり、商は差になることの証明

極形式で表された複素数の積と商の公式より、

z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), ~z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)のとき、

    \begin{eqnarray*}z_1z_2 &=& r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) ) \\\\\cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) ) \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

一般に、複素数z = r(\cos \theta + i\sin \theta)の偏角は、

    \begin{eqnarray*}arg ~z = \theta \\\\\end{eqnarray*}

と表します。

マスマスターの思考回路

つまり、極形式で表された複素数の\thetaにあたるものがarg ~zと定義されるということです。

これにより、

(1)   \begin{eqnarray*}arg ~z_1 = \theta_1 \\\\arg ~z_2 = \theta_2 \\\\\end{eqnarray*}

と表され、

    \begin{eqnarray*} arg ~(z_1z_2) &=& arg ~[ r_1r_2 \{ \cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \} ] \\\\ &=& \theta_1 + \theta_2 \\\\ \end{eqnarray*}

(1)式より、

    \begin{eqnarray*}&=& arg ~(z_1) + arg ~(z_2) \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} arg ~(z_1z_2) &=& arg ~(z_1) + arg ~(z_2) \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、

    \begin{eqnarray*}arg ~(\cfrac{z_1}{z_2}) &=& arg ~[ \cfrac{r_1}{r_2} \{ \cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) \} ] \\\\&=& \theta_1 - \theta_2 \\\\\end{eqnarray*}

(1)式より、

    \begin{eqnarray*}&=& arg ~(z_1) - arg ~(z_2) \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} arg ~(\cfrac{z_1}{z_2}) &=& arg ~(z_1) - arg ~(z_2) \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} arg ~(z_1z_2) &=& arg ~(z_1) + arg ~(z_2) \\\\ arg ~(\cfrac{z_1}{z_2}) &=& arg ~(z_1) - arg ~(z_2) \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

複素数の偏角についての説明のおわりに

いかがでしたか?

かけ算は足し算に、割り算は引き算になるので、偏角は対数の和対数の差と同じように計算すれば良いということになります。

【基礎知識】複素数平面のまとめ

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