基礎知識

複素数を扱うことのメリットの一つとして、簡単に回転を扱えるようになるという点は大きいでしょう。
複素数平面上において、複素数と実軸とのなす角を偏角といい、偏角により回転角を扱います。

ここでは偏角の公式について説明していきます。

偏角の求め方については下の記事を参考にしてください。

【複素数平面】複素数の偏角の求め方

複素数の積の偏角は和になり、商は差になる

複素数の積の偏角は和になり、商は差になることの証明

極形式で表された複素数の積と商の公式より、

$z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), ~z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$のとき、

$z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) ) \\$
$\cfrac{z_1}{z_2} = \cfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2) )$

が成り立ちます。

一般に、複素数$z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$の偏角は、

$$\begin{array}{rcl} arg ~z = \theta \end{array}$$

と表します。

これにより、

$$\begin{align} arg ~z_1 = \theta_1　\\\\ arg ~z_2 = \theta_2 \end{align}$$

と表され、

$arg ~(z_1z_2) \\$
$= arg ~[ r_1r_2 { \cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) } ] \\$
$= \theta_1 + \theta_2$

(1)式より、

$$\begin{array}{rcl} &=& arg ~(z_1) + arg ~(z_2) \end{array}$$

よって、

が成り立ちます。

また、

$arg ~(\cfrac{z_1}{z_2}) \\$
$= arg ~[ \cfrac{r_1}{r_2} \{ \cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2) \} ] \\$
$= \theta_1 – \theta_2$

(1)式より、

$$\begin{array}{rcl} &=& arg ~(z_1) – arg ~(z_2) \end{array}$$

よって、

が成り立ちます。

以上により、

が証明されました。

複素数の偏角の公式の説明のおわりに

いかがでしたか？

かけ算は足し算に、割り算は引き算になるので、偏角は対数の和や対数の差と同じように計算すれば良いということになります。

【基礎知識】複素数平面のまとめ