基礎知識

【複素数平面】複素数の偏角について

複素数を扱うことの大きなメリットの一つとして、簡単に回転を扱えるというものがあります。
複素数平面上において、複素数と実軸とのなす角を偏角といい、偏角により回転角を扱います。

ここでは偏角の計算方法について説明していきます。

複素数の積の偏角は和になり、商は差になる

    \begin{eqnarray*} arg ~(z_1z_2) &=& arg ~(z_1) + arg ~(z_2) \\\\ arg ~(\cfrac{z_1}{z_2}) &=& arg ~(z_1) - arg ~(z_2) \\\\ \end{eqnarray*}

複素数の積の偏角は和になり、商は差になることの証明

極形式で表された複素数の積と商の公式より、

z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1), ~z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)のとき、

    \begin{eqnarray*}z_1z_2 &=& r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) ) \\\\\cfrac{z_1}{z_2} &=& \cfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) ) \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

一般に、複素数z = r(\cos \theta + i\sin \theta)の偏角は、

    \begin{eqnarray*}arg ~z = \theta \\\\\end{eqnarray*}

と表します。

マスマスターの思考回路

つまり、極形式で表された複素数の\thetaにあたるものがarg ~zと定義されるということです。

これにより、

(1)   \begin{eqnarray*}arg ~z_1 = \theta_1 \\\\arg ~z_2 = \theta_2 \\\\\end{eqnarray*}

と表され、

    \begin{eqnarray*} arg ~(z_1z_2) &=& arg ~[ r_1r_2 \{ \cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \} ] \\\\ &=& \theta_1 + \theta_2 \\\\ \end{eqnarray*}

(1)式より、

    \begin{eqnarray*}&=& arg ~(z_1) + arg ~(z_2) \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} arg ~(z_1z_2) &=& arg ~(z_1) + arg ~(z_2) \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

また、

    \begin{eqnarray*}arg ~(\cfrac{z_1}{z_2}) &=& arg ~[ \cfrac{r_1}{r_2} \{ \cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) \} ] \\\\&=& \theta_1 - \theta_2 \\\\\end{eqnarray*}

(1)式より、

    \begin{eqnarray*}&=& arg ~(z_1) - arg ~(z_2) \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} arg ~(\cfrac{z_1}{z_2}) &=& arg ~(z_1) - arg ~(z_2) \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} arg ~(z_1z_2) &=& arg ~(z_1) + arg ~(z_2) \\\\ arg ~(\cfrac{z_1}{z_2}) &=& arg ~(z_1) - arg ~(z_2) \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

複素数の偏角についての説明のおわりに

いかがでしたか?

かけ算は足し算に、割り算は引き算になるので、偏角は対数の和対数の差と同じように計算すれば良いということになります。

【基礎知識】複素数平面のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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