高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【複素数平面】複素数の絶対値に関する公式

複素数の絶対値に関する公式

複素数平面の基礎計算公式は、どれもシンプルで簡単に覚えられるものばかりです。
覚えるのに苦労はしませんが、一度は自分の手を動かして証明してみるとよいかと思います。

ここでは、z = a+bi, w= c+diとし、zの共役複素数は\overline{z} = a-biと表すものとします。

複素数の絶対値に関する公式

複素数z=a+biの絶対値は|z|=\sqrt{a^2+b^2}により与えられます。
このとき、以下の式が成り立ちます。

複素数z, ~wに対し、

    \begin{eqnarray*} |zw| &=& |z||w| \\\\ \left| \cfrac{z}{w} \right| &=& \cfrac{|z|}{|w|} \\\\ \end{eqnarray*}

複素数の絶対値に関する公式の証明

    \begin{eqnarray*}|zw| &=& |(a+bi)(c+di)| \\\\&=& |ac+adi+bci-bd| \\\\&=& |(ac-bd)+(ad+bc)i| \\\\&=& \sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2} \\\\&=& \sqrt{(a^2c^2-2abcd+b^2d^2)+(a^2d^2+2abcd+b^2c^2)} \\\\&=& \sqrt{(a^2c^2+b^2d^2)+(a^2d^2+b^2c^2)} \\\\&=& \sqrt{(a^2c^2+a^2d^2)+(b^2d^2+b^2c^2)} \\\\&=& \sqrt{(a^2(c^2+d^2))+(b^2(d^2+c^2))} \\\\&=& \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \\\\&=& \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2} \\\\&=& |z||w| \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} |zw| &=& |z||w| \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

|zw| &=& |z||w|に、z=\cfrac{z}{w}を代入します。

    \begin{eqnarray*}|zw| &=& |z||w| \\\\\left|\cfrac{z}{w}w\right| &=& \left| \cfrac{z}{w} \right||w| \\\\|z| &=& \left| \cfrac{z}{w} \right||w| \\\\\left| \cfrac{z}{w} \right|&=& \cfrac{|z|}{|w|} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \left| \cfrac{z}{w} \right|&=& \cfrac{|z|}{|w|} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

複素数z, ~wに対し、

    \begin{eqnarray*} |zw| &=& |z||w| \\\\ \left| \cfrac{z}{w} \right| &=& \cfrac{|z|}{|w|} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

【基礎知識】複素数平面のまとめ

twitter はじめました!

中学生・高校生の方向けに、数学に関する相談、質問を受け付けています。
長期休暇中の課題について、数学の勉強方法についてなど、出来る範囲でお答えします。

ご応募いただいた内容はwebサイトの記事にする可能性がありますのでご了承ください。

-公式
-