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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【確率】場合の数と確率のまとめ

場合の数と確率のまとめ

1節 場合の数

場合の数はそれ単体で問われることは多くなく、主に確率を問われる際に間接的に場合の数に対する知識が必要となります。
そして、確率は統計学へ応用されていきます。

場合の数を求める際の基本は「全て書き出してみる」ことですが、全て書き出すことが現実的ではない場合も多々あります。

そのような場合には、ここで紹介する各種公式を利用しましょう。

順列

順列の総数は、次の式により求めることができます。

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{P} _r &=& n(n-1)(n-2) \cdots \{n-(r-1)\} = \cfrac{n!}{(n-r)!} \\\\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{P} _0 &=& 1 \\\\ 0! &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

【場合の数】順列の計算方法について

組み合わせ

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _r  &=& \cfrac{ {}_n \mathrm{P} _r }{r!} = \cfrac{ n(n-1) \cdots (n-r+1) }{ r(r-1) \cdots 2 \cdot 1} = \cfrac{n!}{r!(n-r)!} \\\\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _0  &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _r  &=& {}_n \mathrm{C} _{n-r} \\\\ \end{eqnarray*}

【場合の数】組み合わせの計算方法について

同じものを含む順列

n個のもののうち、p個が同じもの、q個は別の同じもの、r個はまた別の同じもの、\cdots 、であるとき、これらn個全てを用いて得られる順列の総数は、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{n!}{p!q!r!\cdots} \end{eqnarray*}

(ただし、p + q + r + \cdots = n

【場合の数】同じものを含む順列の公式

2節 確率

確率は、降水確率や宝くじの当たる確率など、数学で学習する単元の中でも最も実生活の中で身近に感じられる分野であるかと思います。

ここでは確率計算にまつわる公式をまとめていきます。

事象と確率

公開までしばらくお待ちください。

確率の基本性質

公開までしばらくお待ちください。

余事象の確率

事象Aが起こる確率をP(A)、事象Aの余事象が起こる確率をP(\overline{A})と表すとき、その余事象の確率は、

    \begin{eqnarray*} P(\overline{A}) &=& 1 - P(A) \\\\ \end{eqnarray*}

【確率】余事象を用いた確率の求め方

独立な試行とその確率

公開までしばらくお待ちください。

反復試行の確率

n回の反復試行を行ったとき、事象Aがr回発生する確率は

    \begin{eqnarray*}{}_{n} \mathrm{C} _{r} p^r (1-p)^{n-r} \\\\\end{eqnarray*}

【確率】反復試行の確率の公式とその例題

条件付き確率

Aが起こる確率をP(A)、AとBが同時に起こる確率をP(A \cap B)とし、
事象Aが起こったことがわかっている場合に、ある事象Bも起こっている確率をP_A(B)と表すとき、条件付き確率P_A(B)は、

    \begin{eqnarray*} P_A(B) &=& \cfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \\\\ \end{eqnarray*}

【確率】条件付き確率の公式とその例題

期待値

変量Xのとる値をx_1, x_2, \cdots , x_n とし、これらの値をとる確率を、p_1, p_2, \cdots , p_n (ただし、p_1+ p_2+ \cdots + p_n=1)とすると、Xの期待値Eは、

    \begin{eqnarray*}E &=& x_1p_1+x_2p_2+ \cdots + x_np_n \\\\\end{eqnarray*}

【確率】期待値の計算方法とその例題

場合の数と確率のまとめのおわりに

その他の基礎知識は後日追加予定です。

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