学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

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【確率】場合の数と確率のまとめ

ここでは数学Aの「場合の数と確率」についてまとめています。

確率は身の回りの生活にも溢れておりとても役に立つものですので、しっかり勉強しておきましょう。

1節　場合の数

場合の数はそれ単体で問われることは多くなく、主に確率を問われる際に間接的に場合の数に対する知識が必要となります。
そして、確率は統計学へ応用されていきます。

場合の数を求める際の基本は「全て書き出してみる」ことですが、全て書き出すことが現実的ではない場合も多々あります。

そのような場合には、ここで紹介する各種公式を利用しましょう。

順列

異なるいくつかの中から異なるいくつかを取り出して一列に並べたものを順列といいます。
順列の総数は、次の式により求めることができます。

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{P} _r &=& n(n-1)(n-2) \cdots \{n-(r-1)\} = \cfrac{n!}{(n-r)!} \\\\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{P} _0　&=& 1 \\\\ 0! &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

0を含む順列が具体的にどのような状況かわかりにくいかと思いますが、「並べない」という並べ方を1通りと考えると合点がいくかと思います。

【場合の数】順列の計算方法について

組み合わせ

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _r　 &=& \cfrac{ {}_n \mathrm{P} _r }{r!} = \cfrac{ n(n-1) \cdots (n-r+1) }{ r(r-1) \cdots 2 \cdot 1} = \cfrac{n!}{r!(n-r)!} \\\\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _0　 &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _r　 &=& {}_n \mathrm{C} _{n-r} \\\\ \end{eqnarray*}

組み合わせはの計算は {}_n \mathrm{C} _r　 &=& {}_n \mathrm{C} _{n-r} を用いて楽に行いましょう。

【場合の数】組み合わせの計算方法について

同じものを含む順列

n個のもののうち、p個が同じもの、q個は別の同じもの、r個はまた別の同じもの、\cdots　、であるとき、これらn個全てを用いて得られる順列の総数は、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{n!}{p!q!r!\cdots} \end{eqnarray*}

（ただし、p + q + r + \cdots = n）

順列といえど、同じものが含まれている場合はその並び順は考慮しません。
並び順を無視し組み合わせで考えるというのが、同じものを含む順列の考え方の基礎になります。

【場合の数】同じものを含む順列の公式

2節　確率

確率は、降水確率や宝くじの当たる確率など、数学で学習する単元の中でも最も実生活の中で身近に感じられる分野であるかと思います。

ここでは確率計算にまつわる公式をまとめていきます。

事象と確率

公開までしばらくお待ちください。

確率の基本性質

公開までしばらくお待ちください。

余事象の確率

事象Aが起こる確率をP(A)、事象Aの余事象が起こる確率をP(\overline{A})と表すとき、その余事象の確率は、

    \begin{eqnarray*} P(\overline{A}) &=& 1 - P(A) \\\\ \end{eqnarray*}

ある確率は、それが起こらない確率を求めることによって求めることができる、という事が余事象を用いた確率の意味するところになります。

直接的に確率を求める方法と、余事象を利用して確率を求める方法のどちらが楽かを判断したうえで、確率の問題に取り組みましょう。

【確率】余事象を用いた確率の求め方

独立な試行とその確率

公開までしばらくお待ちください。

反復試行の確率

n回の反復試行を行ったとき、事象Aがr回発生する確率は

    \begin{eqnarray*}{}_{n} \mathrm{C} _{r} p^r (1-p)^{n-r} \\\\\end{eqnarray*}

式を暗記するだけでなく、式の意味からしっかりと理解しておきましょう。

【確率】反復試行の確率の公式とその例題

条件付き確率

Aが起こる確率をP(A)、AとBが同時に起こる確率をP(A \cap B)とし、
事象Aが起こったことがわかっている場合に、ある事象Bも起こっている確率をP_A(B)と表すとき、条件付き確率P_A(B)は、

    \begin{eqnarray*} P_A(B) &=& \cfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \\\\ \end{eqnarray*}

条件付き確率の公式は少し覚えにくいところがありますが、ベン図による理解をしておけば、公式を覚えていなくても条件付き確率を求めることができます。

また条件付き確率でない通常の確率も、条件付き確率の一種にすぎない（つまり条件付き確率というものは、特別なものではない）ことを知っておくと良いかと思います。

【確率】条件付き確率の公式とその例題

期待値

変量Xのとる値をx_1, x_2, \cdots , x_n とし、これらの値をとる確率を、p_1, p_2, \cdots , p_n （ただし、p_1+ p_2+ \cdots + p_n=1）とすると、Xの期待値Eは、

    \begin{eqnarray*}E &=& x_1p_1+x_2p_2+ \cdots + x_np_n \\\\\end{eqnarray*}

期待値という値を用いると、ある事柄を行った方が得かどうかを判断することができるようになります。

【確率】期待値の計算方法とその例題

場合の数と確率のまとめのおわりに

その他の基礎知識は後日追加予定です。

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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