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【場合の数】組み合わせの計算方法について

組み合わせの計算方法

ここでは、組み合わせの計算方法について説明していきます。

組み合わせを理解するには順列の知識が必要となりますので、ますは順列についてしっかり理解しておきましょう。

【場合の数】順列の計算方法について

組み合わせの表し方

異なるn個の中から異なるr個を取り出しときの組み合わせの総数は、

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _r \end{eqnarray*}

と表します。

組み合わせの計算方法

組み合わせの総数は、次の式により求めることができます。

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _r  &=& \cfrac{ {}_n \mathrm{P} _r }{r!} = \cfrac{ n(n-1) \cdots (n-r+1) }{ r(r-1) \cdots 2 \cdot 1} = \cfrac{n!}{r!(n-r)!} \\\\ \end{eqnarray*}

組み合わせの計算方法の証明

順列では、「並べる」という操作が入りますが、組み合わせでは「並べる」という操作は除外されます。

例えば、1, 2, 3の三つの数字について、順列の全ての場合を列挙すると次の6通りがあります。

    \begin{eqnarray*}123\\\\132\\\\213\\\\231\\\\312\\\\321\\\\\end{eqnarray*}

組み合わせでは、上記6つを全て同じものとみなします。
つまり、順列における並び順のパターンを入れ替えたときに、同じ順番になるものはそれを1通りとみなさず、1, 2, 3の三つの数字の組み合わせは、

    \begin{eqnarray*}123\end{eqnarray*}

の1通りのみとなります。

順列{}_n \mathrm{P} _rによって並べられたr個の並び順の総数であるr!{}_n \mathrm{P} _rを割れば、並び方のパターン数を除外できることになりますので、異なるn個の中から異なるr個を取り出しときの組み合わせの総数は、

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _r  &=& \cfrac{ {}_n \mathrm{P} _r }{r!} \end{eqnarray*}

となります。

また、順列と階乗の計算方法そのものにより、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{ {}_n \mathrm{P} _r }{r!} = \cfrac{ n(n-1) \cdots (n-r+1) }{ r(r-1) \cdots 2 \cdot 1} \end{eqnarray*}

が成立します。

また、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{ n(n-1) \cdots (n-r+1) }{ r(r-1) \cdots 2 \cdot 1} &=& \cfrac{ n(n-1) \cdots (n-r+1) }{ r(r-1) \cdots 2 \cdot 1} \cdot \cfrac{(n-r)(n-r-1) \cdots 2 \cdot 1}{(n-r)(n-r-1)\cdots 2 \cdot 1} \\\\&=& \cfrac{ \{ n(n-1) \cdots (n-r+1) (n-r)(n-r-1) \cdots 2 \cdot 1 \} }{ \{ r(r-1) \cdots 2 \cdot 1 \} \{ (n-r)(n-r-1) \cdots 2 \cdot 1 \} } \\\\&=& \cfrac{ \{n! \} }{ \{ r! \} \{(n-r)! \} } \\\\&=& \cfrac{ n! }{ r! (n-r)! } \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{ n(n-1) \cdots (n-r+1) }{ r(r-1) \cdots 2 \cdot 1} &=& \cfrac{ n! }{ r! (n-r)! } \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _r  &=& \cfrac{ {}_n \mathrm{P} _r }{r!} = \cfrac{ n(n-1) \cdots (n-r+1) }{ r(r-1) \cdots 2 \cdot 1} = \cfrac{n!}{r!(n-r)!} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

0を含む組み合わせ

    \begin{eqnarray*}{}_n \mathrm{C} _r  &=& \cfrac{ {}_n \mathrm{P} _r }{r!} \\\\\end{eqnarray*}

上式にr=0を代入すると、

    \begin{eqnarray*}{}_n \mathrm{C} _0  &=& \cfrac{ {}_n \mathrm{P} _0 }{0!} \\\\&=& \cfrac{ 1 }{1} \\\\&=& 1 \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _0  &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

組み合わせの性質

異なるn個の中から異なるr個を選ぶことは、取り出さないn-r個を選ぶことと同じですので、

    \begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{C} _r  &=& {}_n \mathrm{C} _{n-r} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立ちます。

組み合わせの例題

順列の式と同様に、組み合わせの式自体は難しく感じられるかと思いますが、実際の計算は比較的簡単で、通常は

    \begin{eqnarray*}{}_n \mathrm{C} _r  &=& \cfrac{ n(n-1) \cdots (n-r+1) }{ r(r-1) \cdots 2 \cdot 1} \\\\\end{eqnarray*}

を用いて計算を行います。

例題を通して理解を深めましょう。

(i) {}_5 \mathrm{C} _3

    \begin{eqnarray*}{}_5 \mathrm{C} _3 &=& \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\\\&=& 10\end{eqnarray*}

となりますが、

    \begin{eqnarray*}{}_n \mathrm{C} _r  &=& {}_n \mathrm{C} _{n-r} \\\\\end{eqnarray*}

を用いると、少し楽に計算を行うことができます。

    \begin{eqnarray*}{}_5 \mathrm{C} _3 &=& {}_5 \mathrm{C} _{5-3} \\\\&=& {}_5 \mathrm{C} _{2} \\\\&=& \cfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \\\\&=& 10\end{eqnarray*}

組み合わせの説明の終わりに

    \begin{eqnarray*}{}_n \mathrm{C} _r  &=& {}_n \mathrm{C} _{n-r} \\\\\end{eqnarray*}

を用いて、計算を楽に行うことがポイントになります。

\mathrm{C}の後の添字が小さい方が計算が楽になりますので、状況に応じて柔軟に使い分けましょう。

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