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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【確率】期待値の計算方法とその例題

【確率】期待値の計算方法とその例題

確率とは、ある事柄がどれくらいの割合で発生するかを意味するものです。
これを少し発展させると期待値という値を用いて、ある事柄を行った方が得かどうかを判断することができるようになります。

ここでは期待値の計算方法と、その例題を紹介していきたいと思います。

期待値の計算方法

変量Xのとる値をx_1, x_2, \cdots , x_n とし、これらの値をとる確率を、p_1, p_2, \cdots , p_n (ただし、p_1+ p_2+ \cdots + p_n=1)とすると、Xの期待値Eは、

    \begin{eqnarray*} E &=& x_1p_1+x_2p_2+ \cdots + x_np_n \\\\ \end{eqnarray*}

期待値の例題

次の例題について考えてみましょう。

次の二つのゲームA, Bがある。

A : さいころを1回ふり、1の目が出たら1000円もらえ、それ以外の目が出ると100円支払う。
B : さいころを1回ふり、1の目または6の目が出たら500円もらえ、それ以外の目が出ると50円支払う。

どちらのゲームに参加する方が得か。

マスマスターの思考回路

期待値の大小を比較し、どちらが得かどうかを判断します。
変量Xと確率Pの表を作りましょう。

Aについて、

X 1000 -100
P \cfrac{1}{6} \cfrac{5}{6}

上表より、期待値は

    \begin{eqnarray*} &&1000 \cdot \cfrac{1}{6} + (-100) \cdot \cfrac{5}{6} \\\\ &=& \cfrac{1000}{6} - \cfrac{500}{6} \\\\ &=& \cfrac{500}{6} \\\\ \end{eqnarray*}

Bについて、

X 500 -50
P \cfrac{2}{6} \cfrac{4}{6}

上表より、期待値は

    \begin{eqnarray*} &&500 \cdot \cfrac{2}{6} + (-50) \cdot \cfrac{4}{6} \\\\ &=& \cfrac{1000}{6} - \cfrac{200}{6} \\\\ &=& \cfrac{800}{6} \\\\ \end{eqnarray*}

Aの期待値 \cfrac{500}{6} とBの期待値 \cfrac{800}{6} ではBの期待値の方が大きいので、Bのゲームを行う方が得であると判断することができます。

期待値の説明の終わりに

いかがでしたか?

期待値の計算方法自体はとても単純なものなので、比較的簡単に覚えられるかと思います。

期待値の注意点として、確率は試行回数が多いほど均一化されていくことと同じで、期待値についても十分な試行回数がないとあまり意味をなさないことに注意しておきましょう。

あくまでも、期待値は十分な試行回数があることを前提とし、平均的にどれくらいの値となることが予想されるかということを意味しており、現実的には試行回数や対象とする条件によりどちらが得であるかの判断は変わるということを覚えておきましょう。

【確率】場合の数と確率のまとめ

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