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公式

【確率】条件付き確率の公式とその例題

【確率】条件付き確率の公式とその例題

確率の問題では、ある事象Aが起こったことがわかっている場合に、ある事象Bも起こっている確率を求めるような場合があり、これを条件付き確率といいます。

ここでは条件付き確率の公式と、その具体例の解説を行っていきます。

条件付き確率の公式

Aが起こる確率をP(A)、AとBが同時に起こる確率をP(A \cap B)とし、
事象Aが起こったことがわかっている場合に、ある事象Bも起こっている確率をP_A(B)と表すとき、条件付き確率P_A(B)は、

    \begin{eqnarray*} P_A(B) &=& \cfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \\\\ \end{eqnarray*}

条件付き確率の公式の説明

条件付き確率については、ベン図を用いると直感的に理解できるかと思います。

条件付き確率の公式

条件付き確率の式、

    \begin{eqnarray*} P_A(B) &=& \cfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \\\\ \end{eqnarray*}

は、その式の形から、P(A)に対するP(A \cap B)の比を意味しており、それは上図における赤色部分に対する黄色部分の比になります。
そしてこれは、全事象をAとみなしたときのBの起きる確率であるということができます。

つまり条件付き確率とは、何を全事象とみなすかというところが要点になるわけです。

ここで、Aの起きる確率P(A)(条件付き確率でない)を、全事象をUとみなしたときのAの起きる条件付き確率として求めると、

    \begin{eqnarray*} P_U(A) &=& \cfrac{P(U \cap A)}{P(U)} \\\\ &=& \cfrac{P(A)}{1} \\\\ &=& P(A) \\\\ \end{eqnarray*}

と考えることができ、ちゃんとP(A)という結果になりますね?
だから条件付き確率でない普通の確率も、条件付き確率の一種であるということがわかります。

条件付き確率の例題

ここで、条件付き確率の例題を解いてみましょう。

例題: さいころを1回ふり、出た目が偶数であることがわかっている場合に、その目が2である確率を求めよ。

条件付き確率の公式を使う場合

下の公式を使って確率を求めましょう。

Aが起こる確率をP(A)、AとBが同時に起こる確率をP(A \cap B)とし、
事象Aが起こったことがわかっている場合に、ある事象Bも起こっている確率をP_A(B)と表すとき、条件付き確率P_A(B)は、

    \begin{eqnarray*} P_A(B) &=& \cfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \\\\ \end{eqnarray*}

偶数の目が出る確率をP(A)、2の目が出る確率をP(B)とします。

偶数の目が出る確率は、

    \begin{eqnarray*} P(A) &=& \cfrac{3}{6} \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

偶数の目が出てかつ2の目が出る(つまり2の目が出る)確率は、

    \begin{eqnarray*} P(A\cap B) &=& \cfrac{1}{6} \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

よって、

求める条件付き確率P_A(B)は、

    \begin{eqnarray*} P_A(B) &=& \cfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \\\\ &=& \cfrac{ \cfrac{1}{6} }{ \cfrac{3}{6} } \\\\ &=& \cfrac{1}{3} \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

条件付き確率の公式を使わない場合

マスマスターの思考回路

全事象を、偶数の目が出ることとみなして条件付き確率を考えましょう。

偶数の目の出方は2, 4, 6 の3通り、
2の目が出るのは1通り、

よって求める条件付き確率は

    \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}

となります。

条件付き確率の説明の終わりに

いかがでしたか?

条件付き確率の公式は少し覚えにくいところがありますが、ベン図による理解をしておけば、公式を覚えていなくても条件付き確率を求めることができます。

また条件付き確率でない通常の確率も、条件付き確率の一種にすぎない(つまり条件付き確率というものは、特別なものではない)ことを知っておくと良いかと思います。

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