学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

基礎知識

【基礎】二次関数のまとめ

ここでは数学1の「二次関数」についてまとめています。

二次関数で学んだことは、それ以降に学習する様々な関数に対しても応用が可能です。
高校数学の関数全般の基礎となりますので、しっかり学習しておきましょう。

1節　2次関数とそのグラフ

関数とグラフ

公開までしばらくお待ちください。

平方完成

平方完成は一見何をしているか、何の意味があるかすらわからない計算なのですが、二次方程式の解の公式を導出する過程で用いられる非常に重要な計算です。

【二次関数】平方完成の方法を手順を追って説明するよ

2次関数のグラフ

平方完成を用いることにより、原点以外を頂点にもつ二次関数が表現できるようになります。

【基礎】二次関数のグラフ

グラフの平行移動

ある関数 y=f(x) を x 軸方向に p 、 y 軸方向に q だけ平行移動させた関数は、

    \begin{eqnarray*} y-q=f(x-p) \end{eqnarray*}

と表される。

平行移動は数学Iで学習する内容ですが、まだ高校数学に慣れていない高校一年生にとっては、とても難しく感じられる方が多くおられることと思います。

具体例を通じて理解を深めていきましょう。

【公式】関数の平行移動について解説するよ

グラフの対称移動

y = f(x) を x 軸に関して対称に移動した関数は、

    \begin{eqnarray*} y = -f(x) \end{eqnarray*}

により求められる。

y = f(x) を y 軸に関して対称に移動した関数は、

    \begin{eqnarray*} y = f(-x) \end{eqnarray*}

により求められる。

y = f(x) を原点に関して対称に移動した関数は、

    \begin{eqnarray*} y = -f(-x) \end{eqnarray*}

により求められる。

対称移動は平行移動とともに、グラフの概形を考えるうえで重要な知識となりますのでしっかり理解しておきましょう。

また、関数の対称移動や平行移動は二次関数に限られたものではなく、一般の関数について成り立ちます。

今後様々な関数を学習していくこととなりますが、平行移動・対称移動の考え方がそれらの関数を理解するうえでの基礎となりますので、しっかり学習しておきましょう。

【公式】関数の対称移動について解説するよ

2次関数の最大・最小

二次関数について、試験などで最も問われることが多いのはこの「最大・最小」についてではないかと思います。

最大・最小について考えるにはグラフを描くことが非常に有効ですので、まずはグラフを描くということを習慣づけるようにしましょう。

2次関数の最大・最小

2次関数の決定

2次関数の決定は、与えられた条件によって適切な進め方というものがあります。
どの方法を取るべきか適切に判断できるように、具体例を通して学習していきましょう。

2次関数の決定

2節　2次方程式と2次不等式

2次方程式と判別式

二次方程式 ax^2+bx+c=0 ~（ただし、a\neq0）に対し、

    \begin{eqnarray*} b^2-4ac &=& D \end{eqnarray*}

と定義するとき、 二次方程式 ax^2+bx+c=0 ~ の実数解の個数は次のように分類される。

D>0のとき、異なる二つの実数解を持つ。（実数解２個）
D=0のとき、重解を持つ。（実数解1個）
D<0のとき、実数解を持たない。（実数解0個）

二次方程式には「解がない」ということがあります。
解がないとは何なのでしょうか？
どんなときに解がないのでしょうか？
下の記事で詳しく解説しています。

【基礎知識】二次方程式の解と判別式について

2次方程式の解と係数の関係

二次方程式 ax^2+bx+c=0 の解が x=\alpha,~\beta であるとき、

    \begin{eqnarray*} \alpha + \beta &=& -\cfrac{b}{a} \\\\ \alpha\beta &=& \cfrac{c}{a} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つ。

解と係数の関係は、いつどこで使うかよくわからないことが多いのですが、単元を問わず急に顔を出してきます。

解と係数の関係を使うことによって大幅に計算量を減らすことができるようになりますので、ぜひ使いこなせるようになっておきましょう。

【公式】二次方程式の解と係数の関係を導出するよ

2次関数のグラフと2次方程式

2次方程式それ自体は代数的なものですが、2次関数のグラフと関連付けることにより、幾何的な視点で見ることができるようになることでしょう。

2次関数のグラフと2次方程式

放物線と直線

公開までしばらくお待ちください。

2次関数のグラフと2次不等式

2次関数のグラフと2次不等式について、例題を交えて説明を行っています。

不等式の解が、「解なし」や「全ての実数」といった式でないものになることもあり、慣れないうちはどういうときにどういう形の回答になるのかの判断をつけることは難しいかと思います。

しかし、迷った場合には2次関数のグラフを描き（慣れてきたら思い浮かべるだけも構いません）、不等式が意味するところが何なのかという観点で問題に向き合えば、自ずと答えが導かれることでしょう。

2次関数のグラフと2次不等式

絶対値を含む関数のグラフ

公開までしばらくお待ちください。

二次関数のまとめのおわりに

その他の基礎知識は後日追加予定です。

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基礎知識

二次関数

プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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