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公式

【公式】二次方程式の解と係数の関係を導出するよ

二次方程式の解と係数の関係

今回は二次方程式の解と係数の関係について解説します。

解と係数の関係は、いつどこで使うかよくわからないことが多いのですが、単元を問わず急に顔を出してきます。

解と係数の関係を使うことによって大幅に計算量を減らすことができるようになりますので、ぜひ使いこなせるようになっておきましょう。

二次方程式の解と係数の関係

二次方程式の解と係数の関係とは次のことをいいます。

二次方程式ax^2+bx+c=0の解がx=\alpha,~\betaであるとき、

    \begin{eqnarray*} \alpha + \beta &=& -\cfrac{b}{a} \\\\ \alpha\beta &=& \cfrac{c}{a} \\\\ \end{eqnarray*}

が成り立つ。

証明

二次方程式

(1)   \begin{eqnarray*}ax^2+bx+c=0 \\\\\end{eqnarray*}


を考えます。

(1)式の解を\alpha,~\betaとすると、ax^2+bx+c=0は、次のように因数分解することができます。

(2)   \begin{eqnarray*}a(x-\alpha)(x-\beta) = 0 \\\\\end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

例えば、x^2-x-6=0を解く際、(x-3)(x+2)=0と因数分解し、解はx=3, -2と求めることができますよね?
逆に、あらかじめ解が分かっていれば、その解の値を使用して元の方程式を因数分解できるということです。

(2)式は(1)式を因数分解したものですから、両者は全く同じ意味合いの式でなくてはなりません。
よって、a(x-\alpha)(x-\beta)aは、少なくとも因数分解前後のx^2の係数を一致させるために必要になります。
x^2以外の項についてはこのあと見るように\alpha,~\betaが含まれるので、現段階で係数を一致させておくことを考える必要はありません。

(2)式をxについて降べきの順に整理すると、

    \begin{eqnarray*}a(x-\alpha)(x-\beta) = 0 \\\\a(x^2 -\beta x -\alpha x +\alpha\beta) = 0\\\\a(x^2 - (\alpha + \beta)x +\alpha\beta) = 0\\\\\end{eqnarray*}


(3)   \begin{eqnarray*}ax^2 - a(\alpha + \beta)x + a\alpha\beta = 0\\\\\end{eqnarray*}

となります。

(1)式と(3)式は同じものでなければならない(つまり係数が同じでなければならない)ので、各項の係数を比較すると、

    \begin{eqnarray*}- a(\alpha + \beta) = b \\\\a\alpha\beta = c \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ち、これを整理すると、

    \begin{eqnarray*} \alpha + \beta &=& -\cfrac{b}{a} \\\\ \alpha\beta &=& \cfrac{c}{a} \\\\ \end{eqnarray*}

であることが導かれます。

【基礎】二次関数のまとめ

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