基礎知識

ここでは、与えられた条件を満たすような二次関数の式を求める方法について説明を行います。

条件の与えられ方にはいくつかの種類があるのですが、条件によって適切な進め方というものがありますので、その点についても併せて説明を行っていきましょう。

通る3点が与えられた場合

求める二次関数を $y = ax^2+bx+c$ とおくと、この関数が $(-1, 12), (1, 0), (2, 0)$ を通ることから、

$$\begin{align} 12 = a – b + c \\ \end{align}$$ $$\begin{align} 0 = a + b + c \\ \end{align}$$ $$\begin{align} 0 = 4a + 2b + c \\ \end{align}$$

となります。

(1)式 – (2)式より、

$$\begin{align} 12 = – 2b \\ \end{align}$$

(1)式 – (3)式より、

$$\begin{align} 12 = -3a – 3b \\ \end{align}$$

(4)式より、

$$\begin{align} b = -6 \\ \end{align}$$

(6)式を(5)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} 12 &=& -3a +18 \\\\ 3a &=& 6 \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} a &=& 2 \\ \end{align}$$

(6)式と(7)式を(2)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} 0 &=& 2 – 6 + c \\\\ -c &=& -4 \\\\ c &=& 4 \\ \end{array}$$

以上により、求める二次関数は

となります。

別解

求める二次関数 $y = ax^2+bx+c$ は、$(1, 0), (2, 0)$ を通ることを用いると、

$$\begin{align} y = a(x-1)(x-2) \end{align}$$

と書くことができます。

これに $(-1, 12)$ を代入すると、

$$\begin{array}{rcl} 12 &=& a(-1-1)(-1-2) \\\\ 12 &=& a(-2)(-3) \\\\ 12 &=& 6a \\\\ a &=& 2 \\ \end{array}$$

これを(8)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} y &=& 2(x-1)(x-2) \\\\ &=& 2(x^2-3x+2) \\\\ &=& 2x^2-6x+4 \\ \end{array}$$

となります。

頂点の座標が与えられた場合

求める二次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ とおくと、頂点が $(1, 2)$ であることから、

$$\begin{align} y = a(x-1)^2 + 2 \\ \end{align}$$

と書くことができ、これが $(3, 6)$ を通るので、

$$\begin{array}{rcl} 6 &=& a(3-1)^2 + 2 \\\\ 6 – 2 &=& a(2)^2 \\\\ 4 &=& 4a \\\\ a &=& 1 \\ \end{array}$$

これを(9)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} y &=& 1(x-1)^2 + 2 \\\\ &=& (x-1)^2 + 2 \\\\ &=& x^2-2x+1 + 2 \\\\ &=& x^2-2x+3 \\ \end{array}$$

以上により、求める二次関数は

となります。

2次関数の決定の説明のおわりに

いかがでしたか？

ここでは取り扱いませんでしたが、最大値・最小値についての条件から二次関数の決定を行うような問題もあります。

しかし、様々なパターンの問題が出題されても本記事で説明した内容が基本となりますので、ここまでの内容をしっかり身につけておくようにしましょう。

【基礎】二次関数のまとめ