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公式

【微分】三角関数の微分の公式の証明

三角関数の微分の公式

ここでは、三角関数の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

三角関数の微分の公式

    \begin{eqnarray*} (\sin x)' &=& \cos x \\\\ (\cos x)' &=& - \sin x \\\\ (\tan x)' &=& \cfrac{1}{\cos^2 x} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の微分の公式の証明

加法定理相互関係式および、三角関数の極限を利用して証明することができます。

    \begin{eqnarray*}(\sin x)' &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{\sin (x+h) - \sin x}{h}\\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}\\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}\\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} - \cfrac{\sin x (1 - \cos h) }{h} + \cfrac{\cos x \sin h}{h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} - \cfrac{\sin x \sin^2 h }{h(1 + \cos h)} + \cfrac{\sin h}{h} \cdot \cos x \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} - \sin x \cdot \cfrac{\sin^2 h }{h^2} \cdot h \cdot \cfrac{1}{1 + \cos h} + \cfrac{\sin h}{h} \cdot \cos x \\\\&=& - \sin x \cdot 1^2 \cdot 0 \cdot \cfrac{1}{2} + 1 \cdot \cos x \\\\&=& \cos x \\\\\end{eqnarray*}

\cos x の微分は\sin xの微分と同様に行います。

    \begin{eqnarray*}(\cos x)' &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{\cos (x+h) - \cos x}{h}\\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}\\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}\\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} - \cfrac{\cos x (1 - \cos h) }{h} - \cfrac{\sin x \sin h}{h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} - \cfrac{\cos x \sin^2 h }{h(1 + \cos h)} - \cfrac{\sin h}{h} \cdot \sin x \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} - \cos x \cdot \cfrac{\sin^2 h }{h^2} \cdot h \cdot \cfrac{1}{1 + \cos h} - \cfrac{\sin h}{h} \cdot \sin x \\\\&=& - \cos x \cdot 1^2 \cdot 0 \cdot \cfrac{1}{2} - 1 \cdot \sin x \\\\&=& - \sin x \\\\\end{eqnarray*}

\tan x の微分は、まず \tan x = \cfrac{\sin x}{\cos x} に変形し、商の微分とここまでの結果を利用しましょう。

    \begin{eqnarray*}(\tan x)' &=& \left ( \cfrac{\sin x}{\cos x} \right )' \\\\&=& \cfrac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \\\\&=& \cfrac{ \cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\\\&=& \cfrac{1}{\cos^2 x} \\\\\end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} (\sin x)' &=& \cos x \\\\ (\cos x)' &=& - \sin x \\\\ (\tan x)' &=& \cfrac{1}{\cos^2 x} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

【数III】微分の公式のまとめ

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