学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【微分】三角関数の微分の公式の証明

ここでは、三角関数の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

三角関数の微分の公式

    \begin{eqnarray*} (\sin x)' &=& \cos x　\\\\ (\cos x)' &=& - \sin x \\\\ (\tan x)' &=& \cfrac{1}{\cos^2 x} \\\\ \end{eqnarray*}

三角関数の微分の公式の証明

加法定理と相互関係式および、三角関数の極限を利用して証明することができます。

    \begin{eqnarray*}(\sin x)' &=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\sin (x+h) - \sin x}{h}\\\\&=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}\\\\&=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}\\\\&=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \cfrac{\sin x (1 - \cos h) }{h} + \cfrac{\cos x \sin h}{h} \\\\&=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \cfrac{\sin x \sin^2 h }{h(1 + \cos h)} + \cfrac{\sin h}{h} \cdot \cos x \\\\&=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \sin x \cdot \cfrac{\sin^2 h }{h^2} \cdot h \cdot \cfrac{1}{1 + \cos h} + \cfrac{\sin h}{h} \cdot \cos x \\\\&=& - \sin x \cdot 1^2 \cdot 0 \cdot \cfrac{1}{2} + 1 \cdot \cos x \\\\&=& \cos x \\\\\end{eqnarray*}

\cos x の微分は\sin xの微分と同様に行います。

    \begin{eqnarray*}(\cos x)' &=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\cos (x+h) - \cos x}{h}\\\\&=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}\\\\&=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}\\\\&=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \cfrac{\cos x (1 - \cos h) }{h} - \cfrac{\sin x \sin h}{h} \\\\&=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \cfrac{\cos x \sin^2 h }{h(1 + \cos h)} - \cfrac{\sin h}{h} \cdot \sin x \\\\&=& \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \cos x \cdot \cfrac{\sin^2 h }{h^2} \cdot h \cdot \cfrac{1}{1 + \cos h} - \cfrac{\sin h}{h} \cdot \sin x \\\\&=& - \cos x \cdot 1^2 \cdot 0 \cdot \cfrac{1}{2} - 1 \cdot \sin x \\\\&=& - \sin x \\\\\end{eqnarray*}

\tan x の微分は、まず \tan x = \cfrac{\sin x}{\cos x}　に変形し、商の微分とここまでの結果を利用しましょう。

    \begin{eqnarray*}(\tan x)' &=& \left ( \cfrac{\sin x}{\cos x} \right )' \\\\&=& \cfrac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \\\\&=& \cfrac{ \cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\\\&=& \cfrac{1}{\cos^2 x} \\\\\end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} (\sin x)' &=& \cos x　\\\\ (\cos x)' &=& - \sin x \\\\ (\tan x)' &=& \cfrac{1}{\cos^2 x} \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

【数III】微分の公式のまとめ

公式

三角関数 微分

プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

検索

この記事の目次

関連記事

サイドメニュー