公式

ここでは、三角関数の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

三角関数の微分の公式

三角関数の微分の公式の証明

加法定理と相互関係式および、三角関数の極限を利用して証明することができます。

$(\sin x)’ $
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\sin (x+h) – \sin x}{h}\\$
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\sin x \cos h + \cos x \sin h – \sin x}{h}\\$
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\sin x (\cos h – 1) + \cos x \sin h}{h}\\$
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \cfrac{\sin x (1 – \cos h) }{h} + \cfrac{\cos x \sin h}{h} \\$
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \cfrac{\sin x \sin^2 h }{h(1 + \cos h)} + \cfrac{\sin h}{h} \cdot \cos x \\$
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \sin x \cdot \cfrac{\sin^2 h }{h^2} \cdot h \cdot \cfrac{1}{1 + \cos h} + \cfrac{\sin h}{h} \cdot \cos x \\$
$= – \sin x \cdot 1^2 \cdot 0 \cdot \cfrac{1}{2} + 1 \cdot \cos x \\$
$= \cos x \\$

$\cos x$ の微分は$\sin x$の微分と同様に行います。

$(\cos x)’ $
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\cos (x+h) – \cos x}{h}\\$
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\cos x \cos h – \sin x \sin h – \cos x}{h}\\$
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　\cfrac{\cos x (\cos h – 1) – \sin x \sin h}{h}\\$
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \cfrac{\cos x (1 – \cos h) }{h} – \cfrac{\sin x \sin h}{h} \\$
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \cfrac{\cos x \sin^2 h }{h(1 + \cos h)} – \cfrac{\sin h}{h} \cdot \sin x \\$
$= \displaystyle　\lim_{h \to 0}　- \cos x \cdot \cfrac{\sin^2 h }{h^2} \cdot h \cdot \cfrac{1}{1 + \cos h} – \cfrac{\sin h}{h} \cdot \sin x \\$
$= – \cos x \cdot 1^2 \cdot 0 \cdot \cfrac{1}{2} – 1 \cdot \sin x \\$
$= – \sin x \\$

$\tan x$ の微分は、まず $\tan x = \cfrac{\sin x}{\cos x}$　に変形し、商の微分とここまでの結果を利用しましょう。

$$\begin{array}{rcl} (\tan x)’ &=& \left ( \cfrac{\sin x}{\cos x} \right )’ \\\\ &=& \cfrac{(\sin x)’ \cos x – \sin x (\cos x)’}{\cos^2 x} \\\\ &=& \cfrac{ \cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\\\ &=& \cfrac{1}{\cos^2 x} \end{array}$$

以上により、

が証明されました。

【数III】微分の公式のまとめ