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公式

【極限】三角関数の極限について

三角関数の極限

ここでは、三角関数の極限の証明を行います。

この証明については、証明方法を覚えていることが大切です。

とてもではないですが何も知らない状況で自分の力だけで証明することは難しいので、この証明は知識として身につけておくようにしましょう。

三角関数の極限

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \end{eqnarray*}

三角関数の極限の証明

次の図を考えます。

sin x / x の極限値

図から、三角形OABの面積 < 扇型OABの面積 < 三角形OACの面積
が成り立ちます。

よって、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{r^2 \sin x}{2} &<& \cfrac{r^2 x}{2} < \cfrac{r^2 \tan x}{2} \\\end{eqnarray*}

となります。これを整理すると、

    \begin{eqnarray*}\sin x < x < \tan x \\\end{eqnarray*}

となります。各辺を\sin xで割ると、

(1)   \begin{eqnarray*}1 < \cfrac{x}{\sin x} < \cfrac{1}{\cos x} \\\end{eqnarray*}

(1)について、\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{1}{\cos x} = 1であることと、はさみうちの原理により、

(2)   \begin{eqnarray*}\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

(1)の各辺の逆数をとると、

(3)   \begin{eqnarray*}\cos x < \cfrac{\sin x}{x} < 1 \\\end{eqnarray*}

となり、(3)について、\displaystyle \lim_{x \to 0} \cos x = 1であることと、はさみうちの原理により、

(4)   \begin{eqnarray*}\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\end{eqnarray*}

となります。よって(2)と(4)より、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \end{eqnarray*}

が証明されました。

【公式】覚えておくべき有名な極限値のまとめ

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