公式

【極限】三角関数の極限について

ここでは、三角関数の極限の証明を行います。

この証明については、証明方法を覚えていることが大切です。

とてもではないですが何も知らない状況で自分の力だけで証明することは難しいので、この証明は知識として身につけておくようにしましょう。

三角関数の極限

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \end{eqnarray*}

三角関数の極限の証明

次の図を考えます。

sin x / x の極限値

図から、三角形OABの面積 < 扇型OABの面積 < 三角形OACの面積
が成り立ちます。

よって、

    \begin{eqnarray*}\cfrac{r^2 \sin x}{2} &<& \cfrac{r^2 x}{2} < \cfrac{r^2 \tan x}{2} \\\end{eqnarray*}

となります。これを整理すると、

    \begin{eqnarray*}\sin x < x < \tan x \\\end{eqnarray*}

となります。各辺を\sin xで割ると、

(1)   \begin{eqnarray*}1 < \cfrac{x}{\sin x} < \cfrac{1}{\cos x} \\\end{eqnarray*}

(1)について、\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{1}{\cos x} = 1であることと、はさみうちの原理により、

(2)   \begin{eqnarray*}\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

(1)の各辺の逆数をとると、

(3)   \begin{eqnarray*}\cos x < \cfrac{\sin x}{x} < 1 \\\end{eqnarray*}

となり、(3)について、\displaystyle \lim_{x \to 0} \cos x = 1であることと、はさみうちの原理により、

(4)   \begin{eqnarray*}\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\end{eqnarray*}

となります。よって(2)と(4)より、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \end{eqnarray*}

が証明されました。

【公式】覚えておくべき有名な極限値のまとめ

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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