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公式

【微分】商の微分の公式の証明

商の微分の公式

ここでは、商の微分の公式を微分の定義に従って導出します。

商の微分の公式

    \begin{eqnarray*} \left\{ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{ \{g(x)\} ^2} \end{eqnarray*}

商の微分の公式の証明

    \begin{eqnarray*}\left\{ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right\}' &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ \cfrac{f(x+h)}{g(x+h)} - \cfrac{f(x)}{g(x)} }{ h} \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ f(x+h) }{ h \cdot g(x+h) } - \cfrac{f(x)}{ h \cdot g(x) } \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ f(x+h) -f(x) + f(x) }{ h \cdot g(x+h) } - \cfrac{f(x)}{ h \cdot g(x) } \\\\&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{ f(x+h) -f(x)}{h} \cdot \cfrac{1}{g(x+h)} + \cfrac{f(x)}{h \cdot g(x+h) }- \cfrac{f(x)}{ h \cdot g(x) } \\\\&=& \cfrac{f'(x)}{g(x)} + \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x)}{h} \left \{ \cfrac{1}{g(x+h)} + \cfrac{1}{g(x)} \right \}\\\\&=& \cfrac{f'(x)}{g(x)} + \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x)}{h} \left \{ \cfrac{g(x) - g(x+h) }{g(x+h)g(x)} \right \} \\\\&=& \cfrac{f'(x)}{g(x)} + \displaystyle \lim_{h \to 0} - \cfrac{g(x + h) - g(x) }{h} \cdot \cfrac{f(x)}{g(x+h)g(x)} \\\\&=& \cfrac{f'(x)}{g(x)} - g'(x) \cdot \cfrac{f(x)}{ \{ g(x) \}^2} \\\\&=& \frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{ \{g(x)\} ^2}\end{eqnarray*}

以上により、

    \begin{eqnarray*} \left\{ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{ \{g(x)\} ^2} \end{eqnarray*}

が証明されました。

【数III】微分の公式のまとめ

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