解法

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［Ⅳ］
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［Ⅳ］(1)

$f'(x) $
$= (e^x)'(\cos x + \sin x)+(e^x)(\cos x + \sin x)’ $
$= e^x(\cos x + \sin x)+e^x(-\sin x + \cos x) $

$$\begin{align} 2e^x\cos x \\ \end{align}$$

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学［Ⅳ］(2)

(i)について

$$\begin{array}{rcl} g'(x) &=& (e^{-\pi x})’\sin \pi x + e^{-\pi x}(\sin \pi x)’\\\\ &=& -\pi e^{-\pi x}\sin \pi x + e^{-\pi x}\pi\cos \pi x\\\\ &=& -\pi e^{-\pi x}(\sin \pi x – \cos \pi x) \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl} g'(x) &=& -\pi e^{-\pi x}(\sin \pi x – \cos \pi x) \\\\ &=& -\sqrt{2}\pi e^{-\pi x}\sin (\pi x -\cfrac{\pi}{4} ) \end{array}$$

$g'(x)=0$となるのは、$n$を整数として、$\pi x -\cfrac{\pi}{4} =n\pi $となるときですので、つまり、

$$\begin{array}{rcl} \pi x -\cfrac{\pi}{4} &=& n\pi \\\\ \pi x &=& n\pi + \cfrac{\pi}{4} \\\\ x &=& n + \cfrac{1}{4} \end{array}$$ $$\begin{align} &=& n + \cfrac{1}{4}\\ \end{align}$$

のときとなります。

整数$k$を用いて、$2k \leqq x \leqq 2k+2$のときの増減表を作成すると次のようになります。

$$\begin{array}{rcl} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} \hline x&2k&\cdots&2k+\cfrac{1}{4}&\cdots&2k+\cfrac{5}{4}&\cdots&2k+2\\ \hline g'(x)&&-&0&+&0&-&\\ \hline g(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\ \hline \end{array} \end{array}$$

増減表から、極大値は

$$\begin{array}{rcl} g(2k+\frac{1}{4}) &=& e^{-\pi(2k+\frac{1}{4})} \sin \pi(2k+\frac{1}{4}) \\\\ &=& e^{-\pi(2k+\frac{1}{4})} \sin (2\pi k+ \frac{\pi}{4}) \\\\ &=& e^{-\pi(2k+\frac{1}{4})} \sin \frac{\pi}{4} \\\\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}~e^{-\pi(2k+\frac{1}{4})} \end{array}$$

極小値は

$$\begin{array}{rcl} g(2k+\frac{5}{4}) &=& e^{-\pi(2k+\frac{5}{4})} \sin \pi(2k+\frac{5}{4}) \\\\ &=& e^{-\pi(2k+\frac{5}{4})} \sin (2\pi k+ \frac{5\pi}{4}) \\\\ &=& e^{-\pi(2k+\frac{5}{4})} \sin \frac{5\pi}{4} \\\\ &=& -\frac{1}{\sqrt{2}}~e^{-\pi(2k+\frac{5}{4})} \end{array}$$

となります。

(ii)について

$$\begin{array}{rcl} V_n &=& \int_{n-1}^n \pi \{g(x)\}^2 ~dx \\\\ &=& \pi \int_{n-1}^n (e^{-\pi x} \sin \pi x)^2 ~dx \\\\ &=& \pi \int_{n-1}^n e^{-2\pi x} \sin^2 \pi x ~dx \end{array}$$

半角の公式より、

$$\begin{array}{rcl} V_n &=& \pi \int_{n-1}^n e^{-2\pi x} \cfrac{1 – \cos 2\pi x}{2} ~dx \\\\ &=& \cfrac{\pi}{2} \int_{n-1}^n e^{-2\pi x} – e^{-2\pi x} \cos 2\pi x ~dx \end{array}$$

$-2\pi x = t$とおくと、$\cfrac{dt}{dx} = -2\pi$であり、$x$が$n-1 \to n$のとき、$t$は$-2\pi(n-1) \to -2\pi n$となります。よって、

$$\begin{array}{rcl} V_n &=& \cfrac{\pi}{2} \int_{-2\pi(n-1)}^{-2\pi n} \{ e^{t} – e^{t} \cos (-t)\} ~(\cfrac{dt}{-2\pi}) \\\\ &=& -\cfrac{1}{4} \int_{-2\pi(n-1)}^{-2\pi n} e^{t} – e^{t} \cos t ~dt \end{array}$$

ここで、(1)式より、

$$\begin{array}{rcl} V_n &=& -\cfrac{1}{4} \int_{-2\pi(n-1)}^{-2\pi n} e^{t} – \cfrac{f'(t)}{2} ~dt \\\\ &=& -\cfrac{1}{4} \left[ e^{t} – \cfrac{e^t(\cos t + \sin t)}{2} \right]_{-2\pi(n-1)}^{-2\pi n} \\\\ &=& -\cfrac{1}{8} \left[ e^t(2 – \cos t – \sin t) \right]_{-2\pi(n-1)}^{-2\pi n} \\\\ &=& -\cfrac{1}{8} \left\{ e^{-2\pi n}(2 – 1 – 0) – e^{-2\pi(n-1)}(2 – 1 – 0) \right\} \\\\ &=& -\cfrac{1}{8} \left( e^{-2\pi n} – e^{-2\pi(n-1)} \right) \\\\ &=& \cfrac{1}{8} \left( e^{-2\pi(n-1)} – e^{-2\pi n} \right) \\\\ &=& \cfrac{1}{8} ~e^{-2\pi n} (e^{2\pi} – 1) \end{array}$$

となります。

(iii)について

$$\begin{array}{rcl} \sum_{n=1}^{\infty} V_n &=& \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{8} ~e^{-2\pi n} (e^{2\pi} – 1) \\\\ &=& \cfrac{e^{2\pi} – 1}{8} \sum_{n=1}^{\infty} ~e^{-2\pi n} \end{array}$$

$\sum_{n=1}^{\infty} ~e^{-2\pi n}$は、初項$e^{-2\pi}$、公比$e^{-2\pi}$の無限等比級数の和になりますが、公比は1より小さいので、その和は収束します。

よって、

$$\begin{array}{rcl} \sum_{n=1}^{\infty} V_n &=& \cfrac{e^{2\pi} – 1}{8} \cdot \cfrac{e^{-2\pi}}{1-e^{-2\pi}} \\\\ &=& \cfrac{e^{2\pi} – 1}{8} \cdot \cfrac{e^{-2\pi}}{1-e^{-2\pi}} \cdot \cfrac{e^{2\pi}}{e^{2\pi}} \\\\ &=& \cfrac{e^{2\pi} – 1}{8} \cdot \cfrac{1}{e^{2\pi}-1} \\\\ &=& \cfrac{1}{8} \end{array}$$

となります。