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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

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【早稲田大学の入試問題を解説!】2018年度入試 基幹理工・創造理工・先進理工 数学[Ⅳ]

早稲田の数学入試問題を解説

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[Ⅳ]
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[Ⅳ]

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[Ⅳ](1)

マスマスターの思考回路

素直に微分しましょう。

(1)   \begin{eqnarray*} f'(x) &=& (e^x)'(\cos x + \sin x)+(e^x)(\cos x + \sin x)' \\\\&=& e^x(\cos x + \sin x)+e^x(-\sin x + \cos x) \\\\&=& 2e^x\cos x \\\\ \end{eqnarray*}

2018年度 早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工 入試 数学[Ⅳ](2)

(i)について

マスマスターの思考回路

極値を求めるために、g'(x)=0となるxの値を求めましょう。

    \begin{eqnarray*} g'(x) &=& (e^{-\pi x})'\sin \pi x + e^{-\pi x}(\sin \pi x)'\\\\&=& -\pi e^{-\pi x}\sin \pi x + e^{-\pi x}\pi\cos \pi x\\\\&=& -\pi e^{-\pi x}(\sin \pi x - \cos \pi x) \\\\ \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

-\pi e^{-\pi x}は指数関数であることから0となることはありませんので、極値を持つことを前提とすれば、それは\sin \pi x - \cos \pi x0のときに限られます。
\sin \pi x - \cos \pi xは多項式ですので、g'(x)=0となる値を求めにくい状況となっています。そこで、三角関数の合成を行い単項式化しましょう。

    \begin{eqnarray*} g'(x) &=& -\pi e^{-\pi x}(\sin \pi x - \cos \pi x) \\\\&=& -\sqrt{2}\pi e^{-\pi x}\sin (\pi x -\cfrac{\pi}{4} ) \\\\ \end{eqnarray*}

g'(x)=0となるのは、nを整数として、\pi x -\cfrac{\pi}{4} =n\piとなるときですので、つまり、

(2)   \begin{eqnarray*} \pi x -\cfrac{\pi}{4} &=& n\pi \\\\\pi x &=& n\pi + \cfrac{\pi}{4}\\\\x &=& n + \cfrac{1}{4}\\\\ \end{eqnarray*}

のときとなります。

マスマスターの思考回路

\sin (\pi x -\cfrac{\pi}{4})xについて周期2の関数ですので、0 \leqq x \leqq 2のときは、(2)式よりn=0, ~1のとき、つまりx=\frac{1}{4}, ~\frac{5}{4}~のとき、g'(x)=0となります。
各周期ごとに同様にg'(x)=0となるxの値が存在しますので、これを一般化します。

整数kを用いて、2k \leqq x \leqq 2k+2のときの増減表を作成すると次のようになります。

    \begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} \hline x&2k&\cdots&2k+\cfrac{1}{4}&\cdots&2k+\cfrac{5}{4}&\cdots&2k+2\\ \hline g'(x)&&-&0&+&0&-&\\ \hline g(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}

増減表から、極大値は

    \begin{eqnarray*} g(2k+\frac{1}{4}) &=& e^{-\pi(2k+\frac{1}{4})} \sin \pi(2k+\frac{1}{4}) \\\\&=& e^{-\pi(2k+\frac{1}{4})} \sin (2\pi k+ \frac{\pi}{4}) \\\\&=& e^{-\pi(2k+\frac{1}{4})} \sin \frac{\pi}{4} \\\\&=& \frac{1}{\sqrt{2}}~e^{-\pi(2k+\frac{1}{4})} \\\\ \end{eqnarray*}

極小値は

    \begin{eqnarray*} g(2k+\frac{5}{4}) &=& e^{-\pi(2k+\frac{5}{4})} \sin \pi(2k+\frac{5}{4}) \\\\&=& e^{-\pi(2k+\frac{5}{4})} \sin (2\pi k+ \frac{5\pi}{4}) \\\\&=& e^{-\pi(2k+\frac{5}{4})} \sin \frac{5\pi}{4} \\\\&=& -\frac{1}{\sqrt{2}}~e^{-\pi(2k+\frac{5}{4})} \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

(ii)について

マスマスターの思考回路

単純計算すれば良さそうです。
まずは式を作り、計算を進めていきましょう。

    \begin{eqnarray*} V_n &=& \int_{n-1}^n \pi \{g(x)\}^2 ~dx \\\\&=& \pi \int_{n-1}^n (e^{-\pi x} \sin \pi x)^2 ~dx \\\\&=& \pi \int_{n-1}^n e^{-2\pi x} \sin^2 \pi x ~dx \\\\ \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

被積分関数に三角関数の二乗がある場合は、半角の公式を用いるのが常套手段になります。

半角の公式より、

    \begin{eqnarray*} V_n &=& \pi \int_{n-1}^n e^{-2\pi x} \cfrac{1 - \cos 2\pi x}{2} ~dx \\\\&=& \cfrac{\pi}{2} \int_{n-1}^n e^{-2\pi x} - e^{-2\pi x} \cos 2\pi x ~dx \\\\ \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

\int e^{-2\pi x}~dxの計算はそのまま行うことができますが、\int e^{-2\pi x} \cos 2\pi x ~dxの計算はそのまま行うことができません。
しかし、被積分関数の式の形は(1)式に似ているので、置換積分を利用して(1)式の形に一致させるように式変形を行います。

-2\pi x = tとおくと、\cfrac{dt}{dx} = -2\piであり、xn-1 \to nのとき、t-2\pi(n-1) \to -2\pi nとなります。よって、

    \begin{eqnarray*} V_n &=& \cfrac{\pi}{2} \int_{-2\pi(n-1)}^{-2\pi n} \{ e^{t} - e^{t} \cos (-t)\} ~(\cfrac{dt}{-2\pi}) \\\\&=& -\cfrac{1}{4} \int_{-2\pi(n-1)}^{-2\pi n} e^{t} - e^{t} \cos t ~dt \\\\ \end{eqnarray*}

ここで、(1)式より、

    \begin{eqnarray*} V_n &=& -\cfrac{1}{4} \int_{-2\pi(n-1)}^{-2\pi n} e^{t} - \cfrac{f'(t)}{2} ~dt \\\\&=& -\cfrac{1}{4} \left[ e^{t} - \cfrac{e^t(\cos t + \sin t)}{2} \right]_{-2\pi(n-1)}^{-2\pi n} \\\\&=& -\cfrac{1}{8} \left[ e^t(2 - \cos t - \sin t) \right]_{-2\pi(n-1)}^{-2\pi n} \\\\&=& -\cfrac{1}{8} \left\{ e^{-2\pi n}(2 - 1 - 0) - e^{-2\pi(n-1)}(2 - 1 - 0) \right\} \\\\&=& -\cfrac{1}{8} \left( e^{-2\pi n} - e^{-2\pi(n-1)} \right) \\\\&=& \cfrac{1}{8} \left( e^{-2\pi(n-1)} - e^{-2\pi n} \right) \\\\&=& \cfrac{1}{8} ~e^{-2\pi n} (e^{2\pi} - 1) \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

(iii)について

マスマスターの思考回路

これも単純計算で解決できそうです。
先の問題で求めたV_nを用いて計算を行いましょう。

    \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} V_n &=& \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{8} ~e^{-2\pi n} (e^{2\pi} - 1) \\\\&=& \cfrac{e^{2\pi} - 1}{8} \sum_{n=1}^{\infty} ~e^{-2\pi n} \\\\ \end{eqnarray*}

\sum_{n=1}^{\infty} ~e^{-2\pi n}は、初項e^{-2\pi}、公比e^{-2\pi}無限等比級数の和になりますが、公比は1より小さいので、その和は収束します。

よって、

    \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} V_n &=& \cfrac{e^{2\pi} - 1}{8} \cdot \cfrac{e^{-2\pi}}{1-e^{-2\pi}} \\\\&=& \cfrac{e^{2\pi} - 1}{8} \cdot \cfrac{e^{-2\pi}}{1-e^{-2\pi}} \cdot \cfrac{e^{2\pi}}{e^{2\pi}} \\\\&=& \cfrac{e^{2\pi} - 1}{8} \cdot \cfrac{1}{e^{2\pi}-1} \\\\&=& \cfrac{1}{8} \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

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