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基礎知識

【数列・極限】無限等比級数の和の公式

無限等比級数の和の公式

無限等比級数の和の公式は、等比数列の和の公式の理解が必要になりますので、まずはそちらをしっかり理解しておきましょう。

【数列】等比数列の和の公式の証明

無限等比級数の和とは

等比数列の第n項までの和(これを部分和といいます)の、n \to \inftyのときの極限を無限等比級数の和といいます。

無限等比級数の和の公式

等比数列a_n=ar^{n-1}に対する無限等比級数の和は、

|r| < 1のとき、収束し、一定の値 \cfrac{a}{1-r} をとる。

|r| \geqq 1のとき、発散する。

無限等比級数の和の公式の証明

等比数列a_n=ar^{n-1}の初項から第n項までの和S_nは、

r \neq 1のとき、等比数列の和の公式より

    \begin{eqnarray*}S_n &=& \cfrac{a(1-r^n)}{1-r} \\\\\end{eqnarray*}

と表されます。

|r| < 1のとき、

1より小さい数は、かければかけるほど小さくなるので

    \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} r^n &=& 0 \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

このとき無限等比級数の和は収束しその値は、

    \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}S_n &=& \cfrac{a(1-0)}{1-r} \\\\ &=& \cfrac{a}{1-r} \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

|r| > 1のとき、

    \begin{eqnarray*}\lim_{n \to \infty} r^n \\\\\end{eqnarray*}

は発散しますので、

    \begin{eqnarray*}\lim_{n \to \infty}S_n \\\\\end{eqnarray*}

も発散します。

r = 1のとき、

等比数列の和の公式により、部分和は

    \begin{eqnarray*}S_n &=& na \\\\\end{eqnarray*}

であり、

    \begin{eqnarray*}\lim_{n \to \infty} na \\\\\end{eqnarray*}

は発散しますので、

    \begin{eqnarray*}\lim_{n \to \infty}S_n \\\\\end{eqnarray*}

も発散します。

以上により、

等比数列a_n=ar^{n-1}に対する無限等比級数の和は、

|r| < 1のとき、収束し、一定の値 \cfrac{a}{1-r} をとる。

|r| \geqq 1のとき、発散する。

が証明されました。

【数III】関数と極限のまとめ

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