高校数学マスマスター

学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

公式

【数列】等比数列の和の公式の証明

等比数列の和の公式

ここでは、等比数列の和の公式の証明を行います。

等比数列の和の公式

等比数列a_n=ar^{n-1}の初項から第n項までの和S_nは、

r \neq 1のとき、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \cfrac{a(1-r^n)}{1-r} \\\\ \end{eqnarray*}

r = 1のとき、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& na \\\\ \end{eqnarray*}

等比数列の和の公式の証明

S_nは、等比数列a_n=ar^{n-1}の初項から第n項までの和として定義しているので、

(1)   \begin{eqnarray*}S_n &=& a_1 + a_2 + \cdots + a_n \\\\&=& ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1} \\\\\end{eqnarray*}

(1)式をr倍すると、

(2)   \begin{eqnarray*}rS_n &=& ~~~~~~~~~~~~ ar^1 + ar^2 + \cdots + ar^{n} \\\\\end{eqnarray*}

となります。(1)式から(2)式を引くと、

    \begin{eqnarray*}S_n - rS_n &=& ar^0 - ar^{n} \\\\(1-r)S_n &=& a(1 - r^{n}) \\\\\end{eqnarray*}

r \neq 1のとき、上式を(1-r)で割ると、

(3)   \begin{eqnarray*}S_n &=& \cfrac{a(1 - r^{n})}{(1-r)} \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

r = 1のとき、(1)式より、

    \begin{eqnarray*}S_n &=& ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1} \\\\&=& a + a + \cdots + a \\\\\end{eqnarray*}

上式はan回足したものになるので、

(4)   \begin{eqnarray*}S_n &=& na \\\\\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

以上により、

等比数列a_n=ar^{n-1}の初項から第n項までの和S_nは、

r \neq 1のとき、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \cfrac{a(1-r^n)}{1-r} \\\\ \end{eqnarray*}

r = 1のとき、

    \begin{eqnarray*} S_n &=& na \\\\ \end{eqnarray*}

が証明されました。

【数列】数列のまとめ

twitter はじめました!

中学生・高校生の方向けに、数学に関する相談、質問を受け付けています。
長期休暇中の課題について、数学の勉強方法についてなど、出来る範囲でお答えします。

ご応募いただいた内容はwebサイトの記事にする可能性がありますのでご了承ください。

-公式
-