学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

解法

【大学入学共通テスト（旧センター試験）を解説！】2024年度入試 数学IA 第1問


2024年度大学入学共通テスト数学IA 第1問を扱います。
それでは問題を見てみましょう。



【大学入学共通テスト（旧センター試験）を解説！】2024年度入試 数学IA 第1問
【大学入学共通テスト（旧センター試験）を解説！】2024年度入試 数学IA 第1問

2024年度大学入学共通テスト 数学IA 第1問【1】

マスマスターの思考回路

$2\sqrt{13}$ の整数部分を求めよということですね。
このような場合は初めて中学校で平方根について学習した時のように、根号の係数を根号の中に入れましょう。

$$\begin{array}{rcl} 2\sqrt{13} &=& \sqrt{4}\sqrt{13} \\\\ &=& \sqrt{4 \cdot 13}\\\\ &=& \sqrt{52}\\ \end{array}$$

であり、これを隣り合う整数の平方数に根号をつけた数で挟みます。

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{49} &< \sqrt{52} &< \sqrt{64} \\\\ 7 &< \sqrt{52} &< 8 \\\\ 7 &< 2\sqrt{13} &< 8 \\\\ \end{array}$$

$\sqrt{52}$ を 元の形である $2\sqrt{13}$ に戻すと

$$\begin{array}{rcl} 7 &< 2\sqrt{13} &< 8 \\\\ \end{array}$$

以上により、

$$\begin{array}{rcl} n = 7 \end{array}$$

つまり

ア $ = 7$

となります。

これにより、 $\textcircled{2}$ 式は

$$\begin{array}{rcl} a = 2\sqrt{13} – 7 \end{array}$$

となり、これを$\textcircled{3}$ 式に代入すると

$$\begin{array}{rcl} b &=& \cfrac{1}{a} \\\\ &=& \cfrac{1}{2\sqrt{13} – 7} \\\\ &=& \cfrac{2\sqrt{13} + 7}{(2\sqrt{13} – 7)(2\sqrt{13} + 7)} \\\\ &=& \cfrac{2\sqrt{13} + 7}{52 – 49} \\\\ &=& \cfrac{2\sqrt{13} + 7}{3} \\\\ &=& \cfrac{7 + 2\sqrt{13}}{3} \\\\ \end{array}$$

よって

イ $ = 7, $ ウ $= 3$

となります。

また、

$a^2 -9b^2 \\$
$= (a + 3b)(a – 3b) \\$
$= \{(2\sqrt{13} – 7) + 3 \cdot \cfrac{7 + 2\sqrt{13}}{3} \} \{(2\sqrt{13} – 7) – 3\cdot \cfrac{7 + 2\sqrt{13}}{3} \} \\$
$= (2\sqrt{13} – 7 + 7 + 2\sqrt{13}) (2\sqrt{13} – 7 – 7 – 2\sqrt{13}) \\$
$= (4\sqrt{13}) (- 14) \\$
$= -56\sqrt{13} \\$

なので、

エ $ = -, $ オ $= 5, $ カ $ = 6$

となります。

$\textcircled{1}$ と、ア $=7$ であることから、$\textcircled{5}$式は

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{7}{2} < \sqrt{13} < \cfrac{7 + 1}{2} \\\\ \end{array}$$

となります。

マスマスターの思考回路

$\textcircled{1}$ と $\textcircled{4}$ の式にはともに $2\sqrt{13}$ が含まれているので、$\textcircled{4}$ を $2\sqrt{13}$ について解き、 $\textcircled{1}$ に 代入できそうです。

$\textcircled{4}$ を変形すると、

$$\begin{array}{rcl} 3b &=& 7 + 2\sqrt{13} \\\\ 3b – 7 &=& 2\sqrt{13} \\\\ 2\sqrt{13} &=& 3b – 7 \\\\ \end{array}$$

これを $\textcircled{1}$ に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} n &< 2\sqrt{13} &< n + 1 \\\\ n &< 3b - 7 &< n + 1 \\\\ \end{array}$$

であり、 既知である $n=7$ を上式に代入して整理すると、

$$\begin{array}{rcl} 7 &< 3b - 7 &< 8 \\\\ 14 &< 3b &< 15 \\\\ \cfrac{14}{3} &< b &< \cfrac{15}{3} \\\\ \end{array}$$

よって、

$$\begin{array}{rcl} m = 14 \end{array}$$

つまり

キク $ = 14$

となります。

$\textcircled{3}$ 式を $\cfrac{m}{3} < b < \cfrac{m + 1}{3}$ に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{m}{3} &< \cfrac{1}{a} < \cfrac{m + 1}{3} \end{array}$$

マスマスターの思考回路

上式を $a$ について解くと $\textcircled{6}$ 式になりそうです。
この形の不等式は愚直に式変形するのではなく、逆数をとって並び順を逆にするという方法で簡単に解くことができます。

それは例えば
$2 < 3 < 4$ を $\cfrac{1}{4} < \cfrac{1}{3} < \cfrac{1}{2}$ と表現できることと同じです。

よって、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{3}{m+1} &< a < \cfrac{3}{m} \end{array}$$

これが $\textcircled{6}$ 式となります。

$\textcircled{5}$ 式から、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{7}{2} &< \sqrt{13} &< \cfrac{7 + 1}{2} \\\\ 3.5 &< \sqrt{13} &< 4 \\\\ \end{array}$$

なので、 $\sqrt{13} $ の整数部分は $3$ 、つまり、

ケ $ = 3$

となります。

$\textcircled{6}$ 式に、既知の $m=14$ を代入すると、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{3}{15} &< a &< \cfrac{3}{14}\\\\ \end{array}$$

これに $\textcircled{2}$ 式 を代入して整理すると、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{3}{15} &< 2\sqrt{13} - 7 &< \cfrac{3}{14}\\\\ \cfrac{3}{15} + 7 &< 2\sqrt{13} &< \cfrac{3}{14} + 7\\\\ \cfrac{3 + 105}{15} &< 2\sqrt{13} &< \cfrac{3 + 98}{14}\\\\ \cfrac{108}{15} &< 2\sqrt{13} &< \cfrac{101}{14}\\\\ \cfrac{54}{15} &< \sqrt{13} &< \cfrac{101}{28}\\\\ 3.6 &< \sqrt{13} &< 3.60...\\\\ \end{array}$$

よって、

コ $ = 6, $ サ $=0$

となります。

2024年度大学入学共通テスト 数学IA 第1問【2】

マスマスターの思考回路

今回の解説はここまでとなります。
大問1の（2）は今後更新する予定です。

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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