【基礎知識】乃木坂46の「いつかできるから今日できる」を数学的命題として解釈する
- 命題
基礎知識
解法
2019年度東大入試第3問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。
マスマスターの思考回路
マスマスターの思考回路
前提として平面は直線AEと平行です。
Pの座標によっては平面が辺APと交わる場合とそうでない場合が存在する可能性があります。
場合分けを行うために、点Pが平面上に存在すると仮定したときの点Pの座標を求めてみましょう。
AEの直線の方程式は、
マスマスターの思考回路
平面の平面
による切り口は直線であり、平面
は直線
に平行であることから傾きは1、平面
の
切片は1であることから、
での平面
の方程式は
となります。
での平面
の方程式は
であり、点
がこの直線上にあるとき、
マスマスターの思考回路
の前後で場合分けして図示しましょう。
のとき、
のとき、
のとき、
となります。
マスマスターの思考回路
(1)の設問での場合分けが役に立ちそうです。
平面と点
の
座標の大小関係により、八面体
の平面
による切り口の形が変わりますのでそれぞれについて見ていきましょう。
平面が八面体
と共有点を持つ辺は、
のとき、辺
,
,
,
,
,
のとき、辺
,
,
,
,
,
,
,
であり、切り口が八角形となるの範囲は、
となります。
マスマスターの思考回路
八面体の平面
による切り口の
の部分のみが対象となるので、平面
と辺
,
,
,
との交点を考えましょう。
平面の方程式は設問(1)で図示した結果から、
(1)
となります。
これと各辺の交点の座標を求めます。
点より、辺
は
平面上にあり、その直線の方程式は、
であり、これを(1)式に代入すると、
これを(1)式に代入すると、
よって、平面と辺
の交点の座標は、
(2)
となります。
について空間における直線の方程式より、直線
の方程式は、
(3)
であり、これと(1)式より、
(4)
これを(3)式に代入すると、
(4)式を(1)式に代入すると、
よって、平面と辺
の交点の座標は、
(5)
となります。
平面と辺
の交点は点
に一致し、その座標は、
(6)
となります。
平面と辺
の交点は点
の中点に一致し、その座標は、
(7)
となります。
マスマスターの思考回路
平面 は
平面内で傾きを持っていますが、設問の指定は「点
が動く範囲」とのことですので、平面
を
平面へ投影した部分の面積を求めれば良いこととなります。
つまり、ここまで求めてきた平面 と各辺の交点の
座標を0とした点によって、求積対象の領域が規定されることとなります。
これを図示し、面積を求めましょう。
(2), (5), (6), (7)式より、求める部分を図示すると下図のようになります。
この面積は、
となります。
-このサイトの記事を書いている人-
某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。
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