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公式

【図形と方程式】直線の方程式について

【図形と方程式】直線の方程式について

中学数学では、 y=ax+bx 座標と y 座標を代入し、 a, b を計算することにより直線の方程式を求めていたかと思います。

しかし、高校数学ではいちいちそのような計算を行わず、直線の方程式は公式を用いて求めることができるようになります。

直線の方程式は分野によらず広く用いられ、使う機会は非常に多くなりますので、ぜひ使いこなせるようにしておきましょう。


1点を通る直線の方程式

(x_1, y_1) を通る傾き a の直線の方程式

    \begin{eqnarray*} y = a(x-x_1) + y_1 \end{eqnarray*}

1点を通る直線の方程式の証明

求める直線式を

(1)   \begin{eqnarray*} y=ax+b \end{eqnarray*}

とおく。

直線 y=ax+b が 点 (x_1, y_1) を通るとき、

(2)   \begin{eqnarray*} y_1=ax_1+b \end{eqnarray*}

が成り立ち、(1)-(2)より、

    \begin{eqnarray*} y-y_1 &=& ax-ax_1 \\\\ y-y_1 &=& a(x-x_1) \\\\ \end{eqnarray*}

(3)   \begin{eqnarray*} y &=& a(x-x_1) + y_1 \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

(x_1, y_1) を通る傾き a の直線の方程式

    \begin{eqnarray*} y = a(x-x_1) + y_1 \end{eqnarray*}

が証明されました。

2点を通る直線の方程式

(x_1, y_1), (x_2, y_2) を通る直線の方程式

    \begin{eqnarray*} y = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) + y_1 \end{eqnarray*}

2点を通る直線の方程式の証明

求める直線式を

    \begin{eqnarray*} y=ax+b \\\\ \end{eqnarray*}

とおく。

(x_1, y_1) を通る直線の方程式は(3)式より、

(4)   \begin{eqnarray*} y = a(x-x_1) + y_1 \\\\ \end{eqnarray*}

であり、(4)式の直線が (x_2, y_2) を通るとき、

    \begin{eqnarray*} y_2 &=& a(x_2-x_1) + y_1 \\\\ a(x_2-x_1) &=& y_2-y_1 \\\\ \end{eqnarray*}

x_2 \neq x_1 のとき、

(5)   \begin{eqnarray*} a &=& \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}

(5)式を(4)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*} y = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) + y_1 \end{eqnarray*}

よって、

(x_1, y_1), (x_2, y_2) を通る直線の方程式

    \begin{eqnarray*} y = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) + y_1 \end{eqnarray*}

が証明されました。

直線の方程式の説明の終わりに

いかがでしたか?

2点を通る直線の方程式では x_2 \neq x_1 の場合のみを考えましたが、x_2 = x_1 の場合は 対象とする2点が y 軸に平行となるので、直線式は x = x_1 となります。

x = 定数の形の直線式は、今回説明した直線の方程式を使うことはできませんので注意しましょう。

といっても、x = 定数の形の直線式は中学数学の知識で簡単に求めることができますので、公式を使うまでもありませんね。

直線の方程式は非常に使う機会が多くなりますので、手を動かしながら自然と身につけていきましょう。

【基礎】図形と方程式のまとめ

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