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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

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【東大の入試問題を解説!】2019年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第2問

東大の入試問題を解説


2019年度東大入試第2問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

2019年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第2問

マスマスターの思考回路

まずは図を描いてみましょう。

AQ=a, DR=b とし、問題の状況を図示すると下のようになります。

2019年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第2問

問題文の条件から、

(1)   \begin{eqnarray*} APQ &=& \cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*} PQR &=& \cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}

また、AQ=a, DR=b と設定していることから、

(3)   \begin{eqnarray*} \cfrac{DR}{AQ} = \cfrac{b}{a} \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

abの二つの変数で表された式の値を求めなければならないので、変数の数を減らすことを考えましょう。
つまり与えられた条件から方程式を作成します。
与えられた条件は面積に対するものなので、少なくともAPの値が必要となりそうです。APを求めます。

(1)式より、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{AP \cdot a}{2} = \cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}

a \neq 0 より、

(4)   \begin{eqnarray*} AP = \cfrac{2}{3a} \end{eqnarray*}

(2)式より、

    \begin{eqnarray*} PQR &=& APRD - APQ -DRQ = \cfrac{1}{3} \\\\ \end{eqnarray*}

上式と(1), (4)式より

    \begin{eqnarray*} \left(\cfrac{2}{3a} + b \right)\cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{3} - \cfrac{b(1-a)}{2} &=& \cfrac{1}{3} \\\\ \cfrac{1}{2} \left( (\cfrac{2}{3a} + b) - b(1-a) \right)&=& \cfrac{2}{3} \\\\ 3\left(\cfrac{2}{3a} + ab \right) &=& 4 \\\\ ab &=& \cfrac{4}{3} - \cfrac{2}{3a} \\\\ b &=& \cfrac{1}{a} \left( \cfrac{4}{3} - \cfrac{2}{3a} \right) \\\\ &=& \cfrac{2}{3a} \left( 2 - \cfrac{1}{a} \right) \\\\ &=& \cfrac{2}{3a} \left( \cfrac{2a-1}{a} \right) \\\\ &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^2}  \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

(5)   \begin{eqnarray*} b &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^2}  \\\\ \end{eqnarray*}

(5)式を(3)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{DR}{AQ} &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \end{eqnarray*}

これをf(a)とおくと、

    \begin{eqnarray*} f(a) &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

f(a)の最大値と最小値を求めれば問題は解決しますね。
そのために、aの定義域を求めます。
APQ=\cfrac{1}{3} より a\neq0ですが、 QD=0 となっても構わないので 0 < a \leqq 1 となります。
ここから更に定義域を絞っていきましょう。

AQ = 1となっても構わないことから、

(6)   \begin{eqnarray*} 0 < a \leqq 1 \\\\ \end{eqnarray*}

また、APQ = \cfrac{1}{3} より、AP \neq 0 なので、

    \begin{eqnarray*} 0 < AP \leqq 1 \end{eqnarray*}

であることと(4)式より、

    \begin{eqnarray*} 0 < \cfrac{2}{3a} \leqq 1 \\\\ 0 < 2 \leqq 3a \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

(7)   \begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3} \leqq a \\\\ \end{eqnarray*}

(6), (7)式より、

(8)   \begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3} \leqq a \leqq 1 \\\\ \end{eqnarray*}

また、△DRQについては面積に関する条件がないことから、0 \leqq DR \leqq 1 であり、これと(5)式より、

    \begin{eqnarray*} 0 \leqq \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \leqq 1 \\\\ 0 \leqq 2(2a-1) \leqq 3a^3 \\\\ \end{eqnarray*}

上式について、(8)式より0 \leqq 2(2a-1) は成り立つので、右側の二辺のみを考えればよく、

    \begin{eqnarray*} 2(2a-1) \leqq 3a^3 \\\\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} 3a^2-4a+2 \geqq 0 \\\\ \end{eqnarray*}

ここで、

    \begin{eqnarray*} 3a^2-4a+2 = 0 \\\\ \end{eqnarray*}

に対する判別式D=16-4\cdot 3 \cdot 2 < 0 であることから、

    \begin{eqnarray*} 3a^2-4a+2 \geqq 0 \\\\ \end{eqnarray*}

は常になりたちます。よって、a の定義域は(8)式そのものであり、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3} \leqq a \leqq 1 \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

a の定義域が求まりましたので、f(a) の最大・最小値を求めましょう。

    \begin{eqnarray*} f(a) &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \end{eqnarray*}

に対し、商の微分を用いて微分すると、

    \begin{eqnarray*} f'(a) &=& \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{2a^3-(2a-1)3a^2}{a^6} \\\\ &=& \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{2a-(2a-1)3}{a^4} \\\\ &=& \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{-4a+3}{a^4} \\\\ \end{eqnarray*}

よって、\cfrac{2}{3} \leqq a \leqq 1 のとき、最大値はf(\frac{3}{4}) であり、

    \begin{eqnarray*} f(\frac{3}{4}) &=& \cfrac{2(2\cdot \frac{3}{4} - 1)}{3 \left( \frac{3}{4}\right)^3} \\\\ &=& \cfrac{2\cdot 4^3(\frac{1}{2})}{3^4} \\\\ &=& \cfrac{4^3}{3^4} \\\\ \end{eqnarray*}

(9)   \begin{eqnarray*} &=& \cfrac{64}{81} \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

最小値はf(\frac{2}{3}), f(1) のどちらになるかわかりませんので、実際に値を計算してどちらが小さいかを判断しましょう。

    \begin{eqnarray*} f(\frac{2}{3}) &=& \cfrac{2(2\cdot \frac{2}{3} - 1)}{3 \left( \frac{2}{3}\right)^3} \\\\ &=& \cfrac{3^2(\frac{1}{3})}{2^2} \\\\ \end{eqnarray*}

(10)   \begin{eqnarray*} &=& \cfrac{3}{4} \\\\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} f(1) &=& \cfrac{2(1)}{3} \\\\ \end{eqnarray*}

(11)   \begin{eqnarray*} &=& \cfrac{2}{3} \\\\ \end{eqnarray*}

(10), (11)式より、最小値は f(1) = \cfrac{2}{3} となります。

以上から、\cfrac{DR}{AQ} の最大値・最小値はそれぞれ(9), (11)式より、\cfrac{64}{81}, ~\cfrac{2}{3} となります。

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