学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

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【東大の入試問題を解説！】2019年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第2問


2019年度東大入試第2問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

2019年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第2問

マスマスターの思考回路

まずは図を描いてみましょう。

AQ=a, DR=b とし、問題の状況を図示すると下のようになります。

2019年度入試 東京大学 前期日程 数学（理科） 第2問

問題文の条件から、

(1)   \begin{eqnarray*} APQ &=& \cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*} PQR &=& \cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}

また、AQ=a, DR=b と設定していることから、

(3)   \begin{eqnarray*} \cfrac{DR}{AQ} = \cfrac{b}{a} \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

aとbの二つの変数で表された式の値を求めなければならないので、変数の数を減らすことを考えましょう。
つまり与えられた条件から方程式を作成します。
与えられた条件は面積に対するものなので、少なくともAPの値が必要となりそうです。APを求めます。

(1)式より、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{AP \cdot a}{2} = \cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}

a \neq 0 より、

(4)   \begin{eqnarray*} AP = \cfrac{2}{3a} \end{eqnarray*}

(2)式より、

    \begin{eqnarray*} PQR &=& APRD - APQ -DRQ = \cfrac{1}{3} \\\\ \end{eqnarray*}

上式と(1), (4)式より

    \begin{eqnarray*} \left(\cfrac{2}{3a} + b \right)\cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{3} - \cfrac{b(1-a)}{2} &=& \cfrac{1}{3} \\\\ \cfrac{1}{2} \left( (\cfrac{2}{3a} + b) - b(1-a) \right)&=& \cfrac{2}{3} \\\\ 3\left(\cfrac{2}{3a} + ab \right) &=& 4 \\\\ ab &=& \cfrac{4}{3} - \cfrac{2}{3a} \\\\ b &=& \cfrac{1}{a} \left( \cfrac{4}{3} - \cfrac{2}{3a} \right) \\\\ &=& \cfrac{2}{3a} \left( 2 - \cfrac{1}{a} \right) \\\\ &=& \cfrac{2}{3a} \left( \cfrac{2a-1}{a} \right) \\\\ &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^2} \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

(5)   \begin{eqnarray*} b &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^2} \\\\ \end{eqnarray*}

(5)式を(3)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{DR}{AQ} &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \end{eqnarray*}

これをf(a)とおくと、

    \begin{eqnarray*} f(a) &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

f(a)の最大値と最小値を求めれば問題は解決しますね。
そのために、aの定義域を求めます。
APQ=\cfrac{1}{3} より a\neq0ですが、 QD=0 となっても構わないので 0 < a \leqq 1 となります。
ここから更に定義域を絞っていきましょう。

AQ = 1となっても構わないことから、

(6)   \begin{eqnarray*} 0 < a \leqq 1 \\\\ \end{eqnarray*}

また、APQ = \cfrac{1}{3} より、AP \neq 0 なので、

    \begin{eqnarray*} 0 < AP \leqq 1 \end{eqnarray*}

であることと(4)式より、

    \begin{eqnarray*} 0 < \cfrac{2}{3a} \leqq 1 \\\\ 0 < 2 \leqq 3a \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

(7)   \begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3} \leqq a \\\\ \end{eqnarray*}

(6), (7)式より、

(8)   \begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3} \leqq a \leqq 1 \\\\ \end{eqnarray*}

また、△DRQについては面積に関する条件がないことから、0 \leqq DR \leqq 1 であり、これと(5)式より、

    \begin{eqnarray*} 0 \leqq \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \leqq 1 \\\\ 0 \leqq 2(2a-1) \leqq 3a^3 \\\\ \end{eqnarray*}

上式について、(8)式より0 \leqq 2(2a-1) は成り立つので、右側の二辺のみを考えればよく、

    \begin{eqnarray*} 2(2a-1) \leqq 3a^3 \\\\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} 3a^2-4a+2 \geqq 0 \\\\ \end{eqnarray*}

ここで、

    \begin{eqnarray*} 3a^2-4a+2 = 0 \\\\ \end{eqnarray*}

に対する判別式は D=16-4\cdot 3 \cdot 2 < 0 であることから、

    \begin{eqnarray*} 3a^2-4a+2 \geqq 0 \\\\ \end{eqnarray*}

は常になりたちます。よって、a の定義域は(8)式そのものであり、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3} \leqq a \leqq 1 \\\\ \end{eqnarray*}

となります。

マスマスターの思考回路

a の定義域が求まりましたので、f(a) の最大・最小値を求めましょう。

    \begin{eqnarray*} f(a) &=& \cfrac{2(2a-1)}{3a^3} \end{eqnarray*}

に対し、商の微分を用いて微分すると、

    \begin{eqnarray*} f'(a) &=& \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{2a^3-(2a-1)3a^2}{a^6} \\\\ &=& \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{2a-(2a-1)3}{a^4} \\\\ &=& \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{-4a+3}{a^4} \\\\ \end{eqnarray*}

よって、\cfrac{2}{3} \leqq a \leqq 1 のとき、最大値はf(\frac{3}{4}) であり、

    \begin{eqnarray*} f(\frac{3}{4}) &=& \cfrac{2(2\cdot \frac{3}{4} - 1)}{3 \left( \frac{3}{4}\right)^3} \\\\ &=& \cfrac{2\cdot 4^3(\frac{1}{2})}{3^4} \\\\ &=& \cfrac{4^3}{3^4} \\\\ \end{eqnarray*}

(9)   \begin{eqnarray*} &=& \cfrac{64}{81} \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

最小値はf(\frac{2}{3}), f(1) のどちらになるかわかりませんので、実際に値を計算してどちらが小さいかを判断しましょう。

    \begin{eqnarray*} f(\frac{2}{3}) &=& \cfrac{2(2\cdot \frac{2}{3} - 1)}{3 \left( \frac{2}{3}\right)^3} \\\\ &=& \cfrac{3^2(\frac{1}{3})}{2^2} \\\\ \end{eqnarray*}

(10)   \begin{eqnarray*} &=& \cfrac{3}{4} \\\\ \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} f(1) &=& \cfrac{2(1)}{3} \\\\ \end{eqnarray*}

(11)   \begin{eqnarray*} &=& \cfrac{2}{3} \\\\ \end{eqnarray*}

(10), (11)式より、最小値は f(1) = \cfrac{2}{3} となります。

以上から、\cfrac{DR}{AQ} の最大値・最小値はそれぞれ(9), (11)式より、\cfrac{64}{81}, ~\cfrac{2}{3} となります。

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プロフィール

-このサイトの記事を書いている人-

某国立大工学部卒のwebエンジニアです。
学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。
授業という限られた時間の中ではこの声に応えることは難しく、ある程度の理解度までに留めつつ、繰り返しの復習で覚えてもらうという方法を採らざるを得ないこともありました。
本ブログでは「数学の問題を解くための思考回路」に重点を置いています。
それらを通じて自らの力で問題を解決する力が身につくお手伝いができれば幸いです。

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