解法

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3(1)

$$\begin{array}{rcl} a_1 &=& \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{1}{2}} dx \\ \end{array}$$

$x = \sin \theta$　とおくと、 $\cfrac{dx}{d\theta}=\cos \theta$であり、$x \to 1$のときには、$\theta \to \cfrac{\pi}{2}$ となります。

よって、

$$\begin{array}{rcl} a_1 &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin^2 \theta)^{\frac{1}{2}} \cos \theta d\theta \\\\ &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 \theta)^{\frac{1}{2}} \cos \theta d\theta \\\\ &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta \\ \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl} a_1 &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cfrac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta \\\\ &=& \cfrac{1}{2} \left[\theta + \cfrac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\\\ &=& \cfrac{1}{2} \left[ (\cfrac{\pi}{2} + 0) – (0+0)\right] \\\\ &=& \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\pi}{2} \\\\ &=& \cfrac{\pi}{4} \\ \end{array}$$

よって、

$a_n = \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx \\$
$= \int_0^1 x'(1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx \\$
$= \left[ x(1-x^2)^{\frac{n}{2}} \right]_0^1 – \int_0^1 x (\frac{n}{2}) (1-x^2)^{\frac{n}{2} – 1}(-2x) dx \\$
$= 0 + n \int_0^1 x^2(1-x^2)^{\frac{n}{2} – 1} dx $

$a_n = n \int_0^1 {-(1-x^2)+1} (1-x^2)^{\frac{n}{2} – 1} dx \\$
$= n \left[ -\int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2} – 1+1} dx + \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2} – 1} dx \right] \\$
$= n \left[ -\int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx + \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n-2}{2}} dx \right] \\$
$= n ( -a_n + a_{n-2} ) \\$
$(n+1)a_n = n a_{n-2}$

$$\begin{align} a_n &=& \cfrac{n}{n+1} ~ a_{n-2} \end{align}$$

よって、

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3(2)

$$\begin{array}{rcl} a_n &=& \cfrac{n}{n+1} ~ a_{n-2} \\ \end{array}$$

の両辺に $a_{n-1}$ をかけると、

$$\begin{align} a_na_{n-1} &=& \cfrac{n}{n+1} ~ a_{n-1}a_{n-2} \\ \end{align}$$

上式に $n=n-1$ を代入すると、

$$\begin{align} a_{n-1}a_{n-2} &=& \cfrac{n-1}{n} ~ a_{n-2}a_{n-3} \\ \end{align}$$

(3)式を(2)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} a_na_{n-1} &=& \cfrac{n}{n+1} \cdot \cfrac{n-1}{n} ~ a_{n-2}a_{n-3} \\ \end{array}$$

これを繰り返すと、

$a_na_{n-1} = \cfrac{n}{n+1} \cdot \cfrac{n-1}{n} \cdots \cfrac{n-k+1}{n-k+2} ~ a_{n-k}a_{n-(k+1)} $

$n-(k+1) = 0$　、つまり $k=n-1$ のとき、

$a_na_{n-1} = \cfrac{n}{n+1} \cdot \cfrac{n-1}{n} \cdots \cfrac{2}{3} ~ a_{1}a_{0} \\$
$= \cfrac{2}{n+1} ~ a_{1}a_{0} $

（サ）の結果より、$a_1 = \cfrac{\pi}{4}$なので、

$$\begin{array}{rcl} a_na_{n-1} &=& \cfrac{2}{n+1} \cdot \cfrac{\pi}{4} ~ a_{0} \\\\ &=& \cfrac{\pi}{2(n+1)} ~ a_{0} \end{array}$$

ここで、

$$\begin{array}{rcl} a_{0} &=& \int_0^1 (1-x^2)^0 dx \\\\ &=& \int_0^1 1 dx \\\\ &=& \left[ x \right]_0^1 \\\\ &=& 1 – 0 \\\\ &=& 1 \end{array}$$

より、

$$\begin{array}{rcl} a_na_{n-1} &=& \cfrac{\pi}{2(n+1)} \cdot 1 \end{array}$$ $$\begin{align} a_na_{n-1} = \cfrac{\pi}{2(n+1)} \end{align}$$

よって、

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3(3)

$a_n$ の定義から、$0 \leqq x \leqq 1$ であり、

$$\begin{array}{rcl} 0 \leqq x \leqq 1 \\\\ 0 \leqq x^2 \leqq 1 \\\\ -1 \leqq -x^2 \leqq 0 \\\\ 0 \leqq 1-x^2 \leqq 1 \end{array}$$

よって、

$$\begin{array}{rcl} 0 < (1-x^2)^{\frac{n}{2}} &<& (1-x^2)^{\frac{n-1}{2}} \\\\ 0 < \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx &<& \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n-1}{2}} dx \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} 0 < a_{n} &<& a_{n-1} \end{align}$$

(5)式に、(1)式を代入すると、

$$\begin{array}{rcl} \cfrac{n}{n+1} ~ a_{n-2}　&<& a_{n-1} \\\\ \cfrac{n}{n+1} &<& \cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \\ \end{array}$$

上式に、 $n=n+1$ を代入すると、

$$\begin{align} \cfrac{n+1}{n+2} &<& \cfrac{a_{n}}{a_{n-1}} \end{align}$$

(5)式より、

$$\begin{align} \cfrac{a_{n}}{a_{n-1}} < 1 \end{align}$$

(6), (7)式より、

$$\begin{align} \cfrac{n+1}{n+2} < \cfrac{a_{n}}{a_{n-1}} < 1 \end{align}$$

ここで、

$$\begin{array}{rcl} && \lim_{n \to \infty} \cfrac{n+1}{n+2} \\ &=& \lim_{n \to \infty} \cfrac{1+\cfrac{1}{n}}{1+\cfrac{2}{n}} \\ &=& \cfrac{1+0}{1+0} \\\\ &=& 1 \\ \end{array}$$

よって、(8)式において、はさみうちの原理より、

$$\begin{array}{rcl} \lim_{n \to \infty}　\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}　&=& 1 \\ \end{array}$$

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3(4)

(4)式より、

$$\begin{array}{rcl} a_{n-1} &=& \cfrac{\pi}{2(n+1)a_n} \end{array}$$

であり、これを(8)式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} && \cfrac{n+1}{n+2} < \cfrac{2(n+1)a^2_{n}}{\pi} < 1 \\\\ && \cfrac{\pi}{2(n+1)} \cdot \cfrac{n+1}{n+2} < a^2_{n} < \cfrac{\pi}{2(n+1)} \cdot 1 \\\\ && \cfrac{\pi}{2(n+2)} < a^2_{n} < \cfrac{\pi}{2(n+1)}\\ \end{array}$$

$$\begin{array}{rcl} && \cfrac{n\pi}{2(n+2)} < na^2_{n} < \cfrac{n\pi}{2(n+1)} \\\\ \end{array}$$ $$\begin{align} && \sqrt{\cfrac{n\pi}{2(n+2)}} < \sqrt{n}a_{n} < \sqrt{\cfrac{n\pi}{2(n+1)}} \\ \end{align}$$

ここで、

$$\begin{array}{rcl} && \lim_{n \to \infty} \sqrt{\cfrac{n\pi}{2(n+2)}} \\\\ &=& \lim_{n \to \infty} \sqrt{\cfrac{\pi}{2(1+\frac{2}{n})}} \\\\ &=& \sqrt{\cfrac{\pi}{2}} \\ \end{array}$$

また、

$$\begin{array}{rcl} && \lim_{n \to \infty} \sqrt{\cfrac{n\pi}{2(n+1)}} \\\\ &=& \lim_{n \to \infty} \sqrt{\cfrac{\pi}{2(1+\frac{1}{n})}} \\\\ &=& \sqrt{\cfrac{\pi}{2}} \\ \end{array}$$

(9)式において、はさみうちの原理より、

$$\begin{array}{rcl} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n}a_{n} &=& \sqrt{\cfrac{\pi}{2}} \\ \end{array}$$

よって、