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学校や塾では教えてくれない、元塾講師の思考回路の公開

解法

【慶應義塾大学の入試問題を解説!】2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3

慶応の入試問題を解説!

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3
の解説を行います。

それでは問題を見てみましょう。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3(1)

マスマスターの思考回路

素直に計算してみましょう。

    \begin{eqnarray*}a_1 &=& \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{1}{2}} dx \\\\\end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

1-x^2が含まれた積分は、三角関数を用いた置換積分によりうまく計算することができます。

x = \sin \theta とおくと、 \cfrac{dx}{d\theta}=\cos \thetaであり、x \to 1のときには、\theta \to \cfrac{\pi}{2} となります。

よって、

    \begin{eqnarray*}a_1 &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin^2 \theta)^{\frac{1}{2}} \cos \theta d\theta \\\\&=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 \theta)^{\frac{1}{2}} \cos \theta d\theta \\\\&=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta \\\\\end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

三角関数の二乗の積分は、三角関数の半角公式を用いて計算を行いましょう。

    \begin{eqnarray*}a_1 &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cfrac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta \\\\&=& \cfrac{1}{2} \left[\theta + \cfrac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\\\&=& \cfrac{1}{2} \left[ (\cfrac{\pi}{2} + 0) - (0+0)\right] \\\\&=& \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\pi}{2} \\\\&=& \cfrac{\pi}{4} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

(サ) \cfrac{\pi}{4} となります。

マスマスターの思考回路

次に、問題文で指示のある通り、部分積分法を用いて計算を行いましょう。

先のa_1の計算では置換積分を用いましたが、ここでは部分積分という指定があるのでそれに従います。

    \begin{eqnarray*}a_n &=& \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx \\\\&=& \int_0^1 x'(1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx \\\\&=& \left[ x(1-x^2)^{\frac{n}{2}} \right]_0^1 - \int_0^1 x (\frac{n}{2}) (1-x^2)^{\frac{n}{2} - 1}(-2x) dx \\\\&=& 0 + n \int_0^1 x^2(1-x^2)^{\frac{n}{2} - 1} dx \\\\\end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

(1-x^2)^{\frac{n}{2} - 1} の左に付いている x^2 が邪魔になって積分計算ができません。 そこで、x^2(1-x^2) の形に無理矢理に変形することを考えます。

つまり、x^2 = \{-(1-x^2)+1\}と変形しましょう。

    \begin{eqnarray*}a_n &=& n \int_0^1 \{-(1-x^2)+1\} (1-x^2)^{\frac{n}{2} - 1} dx \\\\&=& n \left[ -\int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2} - 1+1} dx + \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2} - 1} dx \right] \\\\&=& n \left[ -\int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx + \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n-2}{2}} dx \right] \\\\&=& n ( -a_n + a_{n-2} ) \\\\(n+1)a_n &=& n a_{n-2} \\\\\end{eqnarray*}

(1)   \begin{eqnarray*}a_n &=& \cfrac{n}{n+1} ~ a_{n-2} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

(シ) \cfrac{n}{n+1} となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3(2)

マスマスターの思考回路

(1)式のa_n &=& \cfrac{n}{n+1} ~ a_{n-2} に、 a_{n-1} をかけると、目的の a_n a_{n-1} の形が作れますね。

    \begin{eqnarray*}a_n &=& \cfrac{n}{n+1} ~ a_{n-2} \\\\\end{eqnarray*}

の両辺に a_{n-1} をかけると、

(2)   \begin{eqnarray*}a_n a_{n-1} &=& \cfrac{n}{n+1} ~ a_{n-1}a_{n-2} \\\\\end{eqnarray*}

上式に n=n-1 を代入すると、

(3)   \begin{eqnarray*}a_{n-1} a_{n-2} &=& \cfrac{n-1}{n} ~ a_{n-2}a_{n-3} \\\\\end{eqnarray*}

(3)式を(2)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*}a_n a_{n-1} &=& \cfrac{n}{n+1} \cdot \cfrac{n-1}{n} ~ a_{n-2}a_{n-3} \\\\\end{eqnarray*}

これを繰り返すと、

    \begin{eqnarray*}a_n a_{n-1} &=& \cfrac{n}{n+1} \cdot \cfrac{n-1}{n} \cdots \cfrac{n-k+1}{n-k+2} ~ a_{n-k}a_{n-(k+1)} \\\\\end{eqnarray*}

n-(k+1) = 0 、つまり k=n-1 のとき、

    \begin{eqnarray*}a_n a_{n-1} &=& \cfrac{n}{n+1} \cdot \cfrac{n-1}{n} \cdots \cfrac{2}{3} ~ a_{1}a_{0} \\\\&=& \cfrac{2}{n+1} ~ a_{1}a_{0} \\\\\end{eqnarray*}

(サ)の結果より、a_1 = \cfrac{\pi}{4}なので、

    \begin{eqnarray*}a_n a_{n-1} &=& \cfrac{2}{n+1} \cdot \cfrac{\pi}{4} ~ a_{0} \\\\&=& \cfrac{\pi}{2(n+1)} ~ a_{0} \\\\\end{eqnarray*}

ここで、

    \begin{eqnarray*}a_{0} &=& \int_0^1 (1-x^2)^0 dx \\\\&=& \int_0^1 1 dx \\\\&=& \left[ x \right]_0^1 \\\\&=& 1 - 0 \\\\&=& 1 \\\\\end{eqnarray*}

より、

(4)   \begin{eqnarray*}a_n a_{n-1} &=& \cfrac{\pi}{2(n+1)} \cdot 1 \\\\&=& \cfrac{\pi}{2(n+1)} \\\\\end{eqnarray*}

よって、

(ス) \cfrac{\pi}{2(n+1)} となります。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3(3)

マスマスターの思考回路

\cfrac{a_n}{a_{n-1}} の一般項を求めることは難しそうなので、はさみうちの原理を用いて極限値を求めることを考えます。
a_na_{n-1} の大小関係を比較しましょう。

a_n の定義から、0 \leqq x \leqq 1 であり、

    \begin{eqnarray*}0 \leqq x \leqq 1 \\\\0 \leqq x^2 \leqq 1 \\\\-1 \leqq -x^2 \leqq 0 \\\\0 \leqq 1-x^2 \leqq 1 \\\\\end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*}0 < (1-x^2)^{\frac{n}{2}} &<& (1-x^2)^{\frac{n-1}{2}} \\\\ 0 < \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx &<& \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n-1}{2}} dx \\\\ \end{eqnarray*}

(5)   \begin{eqnarray*} 0 < a_{n} &<& a_{n-1} \\\\ \end{eqnarray*}

(5)式に、(1)式を代入すると、

    \begin{eqnarray*} \cfrac{n}{n+1} ~ a_{n-2} &<& a_{n-1} \\\\ \cfrac{n}{n+1} &<& \cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \\\\ \end{eqnarray*}

上式に、 n=n+1 を代入すると、

(6)   \begin{eqnarray*} \cfrac{n+1}{n+2} &<& \cfrac{a_{n}}{a_{n-1}} \\\\ \end{eqnarray*}

(5)式より、

(7)   \begin{eqnarray*} \cfrac{a_{n}}{a_{n-1}} < 1 \end{eqnarray*}

(6), (7)式より、

(8)   \begin{eqnarray*} \cfrac{n+1}{n+2} < \cfrac{a_{n}}{a_{n-1}} < 1 \\\\ \end{eqnarray*}

ここで、

    \begin{eqnarray*} && \lim_{n \to \infty} \cfrac{n+1}{n+2} \\\\ &=& \lim_{n \to \infty} \cfrac{1+\cfrac{1}{n}}{1+\cfrac{2}{n}} \\\\ &=& \cfrac{1+0}{1+0} \\\\ &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

よって、(8)式において、はさみうちの原理より、

    \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \cfrac{a_{n}}{a_{n-1}} &=& 1 \\\\ \end{eqnarray*}

よって、 \cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}1 に収束することが証明されました。

2018年度入試 慶應義塾大学 理工 数学 3(4)

マスマスターの思考回路

(3)まで設問が用意されたうえで、(4)の問題文に「以上の結果を用いると」と書かれていることから、直前の設問(3)を利用する可能性は濃厚と思われます。

(8)式をもとに、 a_{n-1} を削除する方針で進めてみましょう。

(4)式より、

    \begin{eqnarray*}a_{n-1} &=& \cfrac{\pi}{2(n+1)a_n} \\\\\end{eqnarray*}

であり、これを(8)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*}&& \cfrac{n+1}{n+2} < \cfrac{2(n+1)a^2_{n}}{\pi} < 1 \\\\ && \cfrac{\pi}{2(n+1)} \cdot \cfrac{n+1}{n+2} < a^2_{n} < \cfrac{\pi}{2(n+1)} \cdot 1 \\\\ && \cfrac{\pi}{2(n+2)} < a^2_{n} < \cfrac{\pi}{2(n+1)}\\\\ \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

\sqrt{n}a_n の極限値を求めなければならないのですが、 a^2_{n} に関する不等式が出来上がってしまいました。 n a^2_{n} に関する不等式に変形し、その平方根を考えることにしましょう。

    \begin{eqnarray*} && \cfrac{n\pi}{2(n+2)} < na^2_{n} < \cfrac{n\pi}{2(n+1)} \\\\ \end{eqnarray*}

(9)   \begin{eqnarray*} && \sqrt{\cfrac{n\pi}{2(n+2)}} < \sqrt{n}a_{n} < \sqrt{\cfrac{n\pi}{2(n+1)}} \\\\ \end{eqnarray*}

ここで、

    \begin{eqnarray*} && \lim_{n \to \infty} \sqrt{\cfrac{n\pi}{2(n+2)}} \\\\ &=& \lim_{n \to \infty} \sqrt{\cfrac{\pi}{2(1+\frac{2}{n})}} \\\\ &=& \sqrt{\cfrac{\pi}{2}} \\\\ \end{eqnarray*}

また、

    \begin{eqnarray*} && \lim_{n \to \infty} \sqrt{\cfrac{n\pi}{2(n+1)}} \\\\ &=& \lim_{n \to \infty} \sqrt{\cfrac{\pi}{2(1+\frac{1}{n})}} \\\\ &=& \sqrt{\cfrac{\pi}{2}} \\\\ \end{eqnarray*}

(9)式において、はさみうちの原理より、

    \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n}a_{n} &=& \sqrt{\cfrac{\pi}{2}} \\\\ \end{eqnarray*}

よって、

(セ) \sqrt{\cfrac{\pi}{2}} となります。

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