解法

2019年度東大入試第1問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

$\int_0^1 x^2 + \cfrac{x^3}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} + \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \cfrac{x^2}{(1+x^2)^2} ~dx \\$

$$\begin{array}{rcl} \int_0^1 x^2 ~dx &=& \left[ \cfrac{x^3}{3} \right]_0^1 \\\\ &=& \cfrac{1}{3} \end{array}$$

部分積分を利用して計算を行います。

$\int_0^1 \cfrac{x^3}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} ~dx \\$
$= \int_0^1 x^3\{(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \}’ \left(\cfrac{1}{-\frac{1}{2}} \right) \left( \cfrac{1}{2x} \right) ~dx \\$
$= -\int_0^1 x^2 \{(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \}’ ~dx \\$
$= -\left[ [x^2(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}]_0^1 -\int_0^1 2x(1+x^2)^{-\frac{1}{2} } ~dx \right]\\$
$= -[1 \cdot (2)^{-\frac{1}{2}} – 0] + 2\int_0^1 x(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} ~dx \\$
$= -\cfrac{1}{\sqrt{2}} + 2\int_0^1 x\{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}\}’ \left( \cfrac{1}{\frac{1}{2}} \right) \left( \cfrac{1}{2x} \right) ~dx \\$
$= -\cfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\int_0^1 \{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}\}’ ~dx \\$
$= -\cfrac{\sqrt{2}}{2} + 2 \left[ (1+x^2)^{\frac{1}{2}} \right]_0^1 \\$
$= -\cfrac{\sqrt{2}}{2} + 2 (\sqrt{2}-1) \\$
$= -\cfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2}-2 \\$
$= \cfrac{3\sqrt{2}}{2} -2 \\$

続けて計算を行います。

$\int_0^1 \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} ~dx \\$
$= \int_0^1 x \{ (1+x^2)^{\frac{1}{2}} \}’ (2) \left(\cfrac{1}{2x} \right) ~dx \\$
$= \int_0^1 \{ (1+x^2)^{\frac{1}{2}} \}’ ~dx \\$
$= \left[ (1+x^2)^{\frac{1}{2}} \right]_0^1 \\$
$= \sqrt{2} – 1 \\$

ここで 置換積分により、$x=\tan \theta$ とおくと、$x ~:~ 0 \to 1$ のとき $\theta ~:~ 0 \to \cfrac{\pi}{4}$ また $\cfrac{dx}{d\theta} = \cfrac{1}{\cos^2 \theta}$ なので、

$\int_0^1 \cfrac{x^2}{ (1+x^2)^2 } ~dx \\$
$= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cfrac{\tan^2 \theta}{ (1+\tan^2 \theta)^2 } ~\cfrac{1}{\cos^2 \theta} ~d\theta \\$
$= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cfrac{\tan^2 \theta}{ (\cfrac{1}{\cos^2 \theta})^2 } ~\cfrac{1}{\cos^2 \theta} ~d\theta \\$
$= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cfrac{\cos^4 \theta \tan^2 \theta}{\cos^2 \theta} ~d\theta \\$
$= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \cfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} ~d\theta \\$
$= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 \theta ~d\theta \\$

ここで半角の公式により、

$$\begin{array}{rcl} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 \theta ~d\theta &=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cfrac{1-\cos 2\theta}{2} ~d\theta \\\\ &=& \cfrac{1}{2} \left[ \theta – \cfrac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\\\ &=& \cfrac{1}{2} \left[ (\cfrac{\pi}{4} – \cfrac{1}{2}) – 0 \right] \\\\ &=& \cfrac{\pi}{8} – \cfrac{1}{4} \\\\ \end{array}$$

以上により、問題文の定積分の値は

$$\begin{array}{rcl} && \cfrac{1}{3} + \cfrac{3\sqrt{2}}{2} -2 + \sqrt{2} – 1 + \cfrac{\pi}{8} – \cfrac{1}{4} \\\\ &=& \cfrac{5\sqrt{2}}{2} + \cfrac{4-3}{12} -3 + \cfrac{\pi}{8} \\\\ &=& \cfrac{5\sqrt{2}}{2} + \cfrac{1-36}{12} + \cfrac{\pi}{8} \\\\ &=& \cfrac{5\sqrt{2}}{2} – \cfrac{35}{12} + \cfrac{\pi}{8} \\\\ \end{array}$$

となります。