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【東大の入試問題を解説!】2019年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問

東大の入試問題を解説

2019年度東大入試第4問目を扱います。
それでは問題を見てみましょう。

2019年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問

2019年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問(1)

マスマスターの思考回路

最大公約数を求めるとのことなので、ユークリッドの互除法を利用してみましょう。

ユークリッドの互除法より、

    \begin{eqnarray*} 5n^2+9 &=& (n^2+1)5+4 \\\\ \end{eqnarray*}

であることから、 5n^2+9n^2+1 の最大公約数は n^2+14 の最大公約数に一致します。

マスマスターの思考回路

4 の素因数は 2 なので、n^2+1 が素因数 2 を持つかどうかが争点となります。
よって、 n が偶数か奇数かで場合分けしましょう。

nが偶数のとき

nが偶数のとき、n = 2m (m は自然数) と表すことができ、

    \begin{eqnarray*} n^2+1 &=& (2m)^2 + 1 \\\\ &=& 4m^2 + 1 \end{eqnarray*}

n^2+1 は奇数となるので、n^2+14 の最大公約数は 1 、つまり、5n^2+9n^2+1 の最大公約数は 1となります。

nが奇数のとき

nが奇数のとき、n = 2m-1 (m は自然数) と表すことができ、

    \begin{eqnarray*} n^2+1 &=& (2m-1)^2 + 1 \\\\ &=& 4m^2-4m+1 + 1 \\\\ &=& 4m^2-4m+2 \\\\ &=& 2(2m^2-2m+1) \\\\ &=& 2\{2(m^2-m)+1\} \\\\ \end{eqnarray*}

2(m^2-m)+1 は奇数となるので、n^2+1 が持つ素因数 2 の個数は 1 個となります。

よってn^2+14 の最大公約数は 2 、つまり、5n^2+9n^2+1 の最大公約数は 2となります。

以上により、n^2+15n^2+9 の最大公約数は、

n が偶数のとき、1

n が奇数のとき、2

となります。

2019年度入試 東京大学 前期日程 数学(理科) 第4問(2)

マスマスターの思考回路

(1)の結果を利用しましょう。 (1)では偶数と奇数の場合にわけて考える必要があったことから、(2)でも同様の場合わけを行えば良いと思われます。 また、「ならない」ことを示すには背理法を用いると進めやすそうですね。

背理法により (n^2+1)(5n^2+9) が整数の2乗になると仮定します。

nが偶数のとき

n^2+15n^2+9 の最大公約数は 1 、つまり互いに素であることから、n^2+15n^2+9 が共に整数の2乗にならなければなりません。

マスマスターの思考回路

n^2+1 は整数の2乗である n^2 に1 を足したものなので、整数の2乗とはならなさそうですね。
n^2+1 が整数の2乗にならないことが示せれば、その時点で(n^2+1)(5n^2+9) が整数の2乗にならないことの根拠となるので、この方針で進めましょう。
つまり、 n^2 < n^2 + 1 < (n+1)^2 を示しましょう。

    \begin{eqnarray*} (n+1)^2 - (n^2 + 1) &=& n^2+2n+1-n^2-1 \\\\ &=& 2n > 0 \\\\ \end{eqnarray*}

また、 n^2 < n^2+1 であることとあわせると、

    \begin{eqnarray*} n^2 < n^2 + 1 < (n+1)^2 \end{eqnarray*}

が成り立つので、 n^2 + 1 は整数の2乗となることはありません。

よって、 (n^2+1)(5n^2+9) は整数の2乗とはなりません。

nが奇数のとき

n^2+15n^2+9 の最大公約数は 2 であることから、互いに素な a, b を用いて、

(1)   \begin{eqnarray*}   \begin{cases} n^2+1 = 2a \\ 5n^2+9 = 2b \\   \end{cases} \end{eqnarray*}

と表すことができ、このとき、

    \begin{eqnarray*} (n^2+1)(5n^2+9) &=& 4ab \\\\ &=& 2^2ab \\\\ \end{eqnarray*}

ここで a, b は互いに素なので、 a, b は共に整数の2乗とならなければなりません。

よって、 a, b は互いに素な c, d を用いて

    \begin{eqnarray*} a &=& c^2 \\\\ b &=& d^2 \\\\ \end{eqnarray*}

と表され、これらを(1) 式に代入すると、

    \begin{eqnarray*}   \begin{cases} n^2+1 = 2c^2 \\ 5n^2+9 = 2d^2 \\   \end{cases} \end{eqnarray*}

上式より、

    \begin{eqnarray*} 4n^2+8 &=& 2(d^2-c^2) \\\\ 4(n^2+2) &=& 2(d+c)(d-c) \\\\ \end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*} 2(n^2+2) &=& (d+c)(d-c) \\\\ \end{eqnarray*}

マスマスターの思考回路

(2)式が成立しないことを示すことができれば良いですね。
左辺に素因数2が含まれていることから、右辺にも素因数2が含まれていなければなりません。
素因数2が含まれているかどうかが争点となるので、d+c が偶数と奇数の場合にわけて考えましょう。
また、d+cd-c の偶奇は一致するので、 d-c についての場合分けを行う必要はないでしょう。

d+cが偶数のとき

d+c=2m (m は自然数) とおき(2)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*} 2(n^2+2) &=& 2m\{(2m-c)-c\} \\\\ 2(n^2+2) &=& 2m(2m-2c) \\\\ 2(n^2+2) &=& 4m(m-c) \\\\ n^2+2 &=& 2m(m-c) \\\\ \end{eqnarray*}

上式の右辺は偶数であることから左辺も偶数であることとなりますが、 n は奇数なので n^2+2 は奇数であり矛盾します。

d+cが奇数のとき

d+c=2m-1 (m は自然数) とおき(2)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*} 2(n^2+2) &=& (2m-1)\{(2m-1-c)-c\} \\\\ 2(n^2+2) &=& (2m-1)(2m-2c-1) \\\\ 2(n^2+2) &=& (2m-1)\{2(m-c)-1\} \\\\ \end{eqnarray*}

上式の左辺は偶数ですが、右辺は奇数であることとなり矛盾します。

よって、 (n^2+1)(5n^2+9) は整数の2乗とはなりません。

以上により、 1以上の整数 n について、(n^2+1)(5n^2+9) は整数の2乗とはならないことが証明されました。

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