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基礎知識

【命題】背理法を用いたルート2が無理数であることの証明

数学の基礎

証明の手段の一種として背理法というものがあります。

背理法は、ある事柄を直接的に証明することが難しい場合に特にその力を発揮します。
押してもダメなときは、背理法を使って引いてみるのも良いかもしれません。

今回は背理法について、実例を交えて解説していきます。

背理法とは

背理法とは次のことをいいます。

ある事柄に対し、その事柄が成り立たないことを仮定して、矛盾を導くことにより、ある事柄が成り立つことを示す証明法のこと。

背理法を用いる例として有名なのが、ある数が無理数であることを証明するような場合です。

実際に背理法を使って、\sqrt{2}が無理数であることを証明してみましょう。

ルート2が無理数であることの証明

マスマスターの思考回路

背理法を用いるときは、まず結論を否定してください。

今回は「無理数である」ことが結論になっていますが、その否定は「無理数でない」つまり「有理数である」となります。
しかし、「有理数である」ことを断言してしまうわけにはいきませんので、「有理数であると仮定する」のです。

\sqrt{2}が有理数だと仮定すると、互いに素な自然数a, ~bを用いて、

    \begin{eqnarray*}\sqrt{2}=\cfrac{a}{b} \\\\\end{eqnarray*}

と表すことができます。両辺を二乗すると、

    \begin{eqnarray*}2=\cfrac{a^2}{b^2} \\\\\end{eqnarray*}

となり、両辺にb^2をかけると、

(1)   \begin{eqnarray*}2b^2=a^2 \\\\\end{eqnarray*}

となります。(1)式の左辺は2の倍数なので、右辺a^22の倍数となります。
a^22の倍数であればa2の倍数なので、自然数kを用いて、a=2kと表すことができます。
これを(1)式に代入すると、

    \begin{eqnarray*}2b^2=4k^2 \\\\\end{eqnarray*}


(2)   \begin{eqnarray*}b^2=2k^2 \\\\\end{eqnarray*}

(2)式の右辺が2の倍数なので、左辺b^22の倍数となります。
b^22の倍数であればb2の倍数になりますが、a, ~bが共に2の倍数であることになってしまい、a, ~bが互いに素であることに矛盾します。

この矛盾は\sqrt{2}が有理数だと仮定したことによって起きてしまいましたので、つまり\sqrt{2}は有理数であってはいけないことになります。

よって、\sqrt{2}が無理数であることが証明されました。

【基礎】集合と命題のまとめ

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